Integration von cot(x)^n < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] I_n=\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{cot^n(x) dx} [/mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] I_n=\bruch{1}{n-1}-I_{n-2} [/mm] für $ n [mm] \ge [/mm] 2 $ |
N'Abend,
meine Idee war die folgende:
ich schreibe das Integral als:
[mm] I_n=\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{cot^n(x) dx}=I_n=\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{cot^{n-1}(x)*cot(x) dx}
[/mm]
Und versuche das dann partiell zu integrieren. Also wähle ich:
[mm] u=cot^{n-1}
[/mm]
und
v'=cot(x)
Dann sind [mm] u'=-(n-1)*sec^2(x)*tan^{-n}(x)=(1-n)*\bruch{cot^n(x)}{cos^2(x)}
[/mm]
und $ v=ln(sin(x)) $
Nach der Formel für partielle Integration:
[mm] I_n=\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{cot^n(x) dx}=[cot^{n-1}*ln(sin(x))]_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}-(1-n)*\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cot^n(x)}{cos^2(x)} dx}
[/mm]
So, der erste Ausdruck wird zu [mm] \bruch{ln2}{2} [/mm] und das hintere Integral bleibt...
Da komm ich dann nicht weiter.
lg,
exeqter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Di 29.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo exeqter!
Eine Idee meinerseits wäre es, mittels vollständiger Induktion vorzugehen.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für deine Antwort. Das wäre mit Sicherheit eine Möglichkeit, allerdings glaube ich nicht, dass dies hier gefragt war. Es werden auch in den Vorlesungen explizit so genannte "Reduction Formulae" (ich kenne leider den deutschen Terminus nicht) hergeleitet u.a. für [mm] cos^n(x) [/mm] , [mm] sin^n(x) [/mm] usw.
Hast du eine Idee, wie man dies auch durch partielle Integration für [mm] cot^n(x) [/mm] machen könnte... ?
Lg,
exeqter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 29.12.2009 | | Autor: | Sax |
Hi,
die folgende Überlegung sollte für einen (Induktions- ?) Beweis hilfreich sein :
[mm] cot^{n+1} [/mm] = [mm] cot^{n-1} [/mm] * [mm] cot^2
[/mm]
= [mm] cot^{n-1} [/mm] * [mm] \bruch{cos^2}{sin^2}
[/mm]
= [mm] cot^{n-1} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{sin^2} [/mm] - 1)
= [mm] -cot^{n-1} [/mm] * [mm] (-\bruch{1}{sin^2}) [/mm] - [mm] cot^{n-1}
[/mm]
Integration liefert dann
[mm] \integral{cot^{n+1}(x) dx} [/mm] = - [mm] \bruch{cot^n (x)}{n} [/mm] - [mm] \integral{cot^{n-1}(x) dx}
[/mm]
Gruß Sax
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Di 29.12.2009 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo ihr beiden,
ich habe es herausgefunden. Es geht folgendermaßen:
[mm] \integral_{}^{}{cot^n(x) dx}=\integral_{}^{}{cot^{n-2}(x)*cot^2(x) dx}
[/mm]
Aus [mm] 1+cot^2(x)=csc^2(x) [/mm] folgt:
[mm] \integral_{}^{}{cot^{n-2}(x)*(1-csc^2(x) dx}
[/mm]
Ausmultiplizieren und die Additivität des Integrals nutzen ergibt:
[mm] \integral_{}^{}{cot^{n-2}(x)*(1-csc^2(x) dx}= \integral_{}^{}{cot^{n-2}(x)csc^2(x) dx}-\integral_{}^{}{cot^{n-2}(x) dx}
[/mm]
Das erste Integral ist durch die Substitution u=cot(x) zu berechnen und ergibt:
[mm] \bruch{-cot^{n-1}(x)}{n-1}-\integral_{}^{}{cot^{n-2}(x) dx}
[/mm]
Was wiederum äquivalent ist zu:
[mm] \bruch{-I_{n-1}}{n-1}-I_{n-2}
[/mm]
Nun einsetzen der Grenzen ergibt:
[mm] I_n=\bruch{1}{n-1}-I_{n-2}
[/mm]
Puuuhh, geschafft.
Lg,
exe
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