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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 So 18.05.2014 | | Autor: | loggeli |
| Aufgabe | Gegeben sei folgende Gleichung:
I [mm] \approx \left<\left|E_{1}\cos(\omega t)+E_{2}\cos(\omega\cdot t + \delta)\right|^{2}\right>. [/mm]
Leiten Sie daraus folgende Gleichung her
[mm] I_{max,min} \approx I_{Laser}\left[1 \pm 2\cos(\phi)\sin(\phi)\right]
[/mm]
Hierbei ist [mm] \left<\dots\right> [/mm] die Mittelung über eine Zeitperiode. |
Hallo,
ich möchte gerne die oben gestellte Aufgabe lösen. Es geht um ein Sagnac-Interferometer. Leider komme ich da nicht die geforderte Intensität. Hier ist mein bisheriger Rechengang
Formel:
[mm] \left<\left|f(t)\right|^{2}\right>_{T} [/mm] = [mm] \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} (f(t))^{2}dt [/mm] für f(t) [mm] \textgreater [/mm] 0
Jetzt habe ich gerechnet:
[mm] (f(t))^{2} [/mm] = [mm] (E_{1}\cos(\omega\cdot [/mm] t) + [mm] E_{2}\cos(\omega\cdot [/mm] t + [mm] \delta))^{2}
[/mm]
[mm] (f(t))^{2} [/mm] = [mm] E_{1}^{2} \cos^{2}(\omega\cdot [/mm] t) + [mm] 2E_{1}E_{2} \cos(\omega\cdot t)\cos(\omega\cdot [/mm] t + [mm] \delta) [/mm] + [mm] E_{2}^{2} \cos(\omega\cdot [/mm] t + [mm] \delta)^{2}
[/mm]
Dann habe ich die Integrale ausgeführt:
[mm] \int_{-T}^{T} \cos^{2}(\omega [/mm] t)dt = [mm] \frac{\sin(2T\omega)}{2\omega} [/mm] + T
[mm] \int_{-T}^{T} \cos(\omega\cdot t)\cos(\omega\cdot [/mm] t + [mm] \delta) [/mm] dt = [mm] \frac{\cos(\delta)(2T\omega + \sin(2T\omega))}{2\omega}
[/mm]
[mm] \int_{-T}^{T} \cos(\omega\cdot [/mm] t + [mm] \delta)^{2}dt [/mm] = [mm] \frac{\cos(2\delta)\sin(2T\omega)}{\omega} [/mm] + T
Beim Einsetzen komme ich dann auf die folgende Gleichung
[mm] \left<\left|f(t)\right|^{2}\right>_{T} [/mm] = [mm] E_{1}^{2}\cdot \frac{1}{4\omega T}\cdot \sin(2T\omega) [/mm] + [mm] \frac{1}{2} E_{1}^{2} +\frac{E_{1}E_{2}}{\omega}\cos(\delta)\left(2T\omega + 2\sin(2T\omega)\right) [/mm] + [mm] \frac{E_{2}^{2}}{2T\omega}\cos(2\delta)\sin(2T\omega) [/mm] + [mm] \frac{E_{2}^{2}}{2}
[/mm]
Leider seh ich grad keinen Weg, diese Gleichung auf das geforderte Ergebnis zu bringen.
Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir dazu einen Tipp geben könntet. Danke 
Viele Grüße
loggeli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 18.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo loggeli,
ich bin mir recht sicher, dass zwischen der Periodendauer T und der Kreisfrequenz Omega folgender Zusammenang besteht:
[mm] \omega = \bruch{2\pi}{T} [/mm]
Dann verschwindet da so einiges an Termen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:26 So 18.05.2014 | | Autor: | loggeli |
Hi,
danke für die Antwort. Ich habe damit jetzt mal weitergerechnet und komme auf etwas vielversprechendes.
Setze: [mm] \omega [/mm] = [mm] \frac{2\pi}{T}
[/mm]
[mm] \left<\left|f(t)\right|^{2}\right>_{T} [/mm] = [mm] \frac{E^{2}_{1}}{2T}\left(\frac{T\sin(4\pi)}{2\pi} + T\right) +\frac{E_{1}E_{2}}{T}\left(\frac{\cos(\delta)\left(4\pi+\sin(4\pi)\right)}{2\pi}T\right) [/mm] + [mm] \frac{E^{2}_{2}}{2T}\left(\frac{\cos(2\delta)\sin(4\pi)}{2\pi}T + T\right)
[/mm]
Es gilt: [mm] \sin(4\pi) [/mm] = 0
Damit folgt
[mm] \left<\left|f(t)\right|^{2}\right>_{T} [/mm] = [mm] \frac{E^{2}_{1}}{2} [/mm] + [mm] 2E_{1}E_{2}\cos(\delta) [/mm] + [mm] \frac{E^{2}_{2}}{2}
[/mm]
[mm] \left<\left|f(t)\right|^{2}\right>_{T} [/mm] = [mm] 2E_{1}E_{2}\cos(\delta) [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\left(E_{1}^{2} + E_{2}^{2}\right)
[/mm]
Jetzt müsste ich einen zusammenhang zwischen der Intensität des Laserstrahles [mm] I_{Laser} [/mm] und den E-Feldern herstellen und zwischen dem Polarisationswinkel [mm] \phi [/mm] und dem Phasenwinkel zwischen beiden Laserstrahlen [mm] \delta. [/mm] Haste da villeicht eine Idee?
Viele Grüße
loggeli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 18.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo loggeli,
die quadratischen Werte des Amplitude des elektrischen Feldes gibt, denke an die Mittelung, die mittlere Energie an und ist somit proportional zur Intensität des Lasers.
Bei den Phasen muss ich allerdings passen. Ich nehme an, dass es da einen Zusammenhang gibt durch die Bau- bzw. Betriebsweise des Interferometers, aber auf diesem gebiet kenne ich mich nicht genügend gut aus, um Dir hier mit gutem gewissen einen Tipp geben zu können.
Ich hoffe, es guckt mal noch ein Physiker rein.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Di 20.05.2014 | | Autor: | chrisno |
In der ersten Gleichung steht das Quadrat des Betrages. Ist das ein Hinweis, dass die beiden E da als Vektoren stehen? Dann käme auch die unterschiedliche Polarisation rein.
Was ist mit dem Index max,min gemeint? Sind das die extremen Ergebnisse, in Abhängigkeit von der Phasendifferenz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 20.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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