Interpolationsfehler gegen 0 < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Do 13.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | [mm]f:[a,b] \to \IR[/mm] sei unendlich oft differenzierbar, und alle Ableitungen [mm]f^{(n)}[/mm] seinen gleichmäßig in [mm]n[/mm] beschränkt. Beweisen Sie, dass für [mm]b-a \le 1[/mm] der Interpolationsfehler für jede Wahl von Stützstellen [mm]a=x_{0}<... |
Hallo,
ich finde für diese Aufgabe keinen richtigen Ansatz der mich weiter bringt.
Aus der Vorlesung weiß ich, dass die Fehlerabschätzung definiert ist durch:
[mm]||f-p_{n}||_{\infty}\le \bruch{1}{(n+1)!}*||f-p_{n+1}||_{\infty}*||\nu||_{\infty}[/mm]
wobei [mm]\nu=\produkt_{k=0}^{n}(x-x_{k})[/mm]
Hier könnte man ja sagen, dass wenn [mm]n[/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht, dann wird [mm]\bruch{1}{(n+1)!}*||f-p_{n+1}||_{\infty}*||\nu||_{\infty}[/mm] 0 und die Aussage wäre bewiesen.
Aber ich muss ja irgendwie das [mm]b-a \le 1[/mm] verwenden.
Hoffe jemand kann mir helfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 13.05.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
für den Fehler bei der Polynominterpolation gilt: $ [mm] ||f-p_{n}||_{\infty}\le \bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}||f^{n+1}||_{\infty}\cdot{}||\nu||_{\infty} [/mm] $
In deinem Fall ist: [mm] ||\nu||_{\infty}<1 [/mm] und [mm] {}||f^{n+1}||_{\infty}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 13.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Reicht diese Erkenntnis denn schon aus, wenn ich noch sage dass [mm] \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] gegen 0 konvergiert oder muss ich da noch mehr zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 13.05.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo Lyrn,
ich denke das reicht. Aber sieht mal nach, ob ihr diese Fehlerabschätzung (oder eine äuivalente Formulierung, aus der sich diese Abschätzung herleiten läßt) in der Vorlesung hattet. Die Fehlerabschätzung die du genannt hast, ist mir unbekannt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Do 13.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Du hast Recht, ich hatte bei meiner Formel einen Tippfehler drin.
Kann ich denn die Konstante C für [mm]f^{n+1}
Als ich meinen Tutor fragte ob die Argumentation durch [mm]\bruch{1}{(n+1)!} \to 0[/mm] gültig ist, meinte er dass im Allgemeinen nicht gilt, dass [mm](a \to 0) \Rightarrow (a*b \to 0)[/mm].
Daher frage ich mich ob die Argumentation ausreicht, wenn ich zusätzlich sage dass $ [mm] {}||f^{n+1}||_{\infty}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Do 13.05.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
du sagtest, dass die Ableitungen von f gleichmäßig beschränkt sein sollen. Ich habe das so verstanden, dass es eine Konstante gibt (die man nicht unbedingt kennt), sodass alle Ableitungen im Betrag kleiner als diese Konstante sind. Diese Konstante wäre dann das C. Berechnen kann man das i.A. nicht.
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