Inverse Matrix mit Parameter < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm][mm] A_a \in \IQ^{3\times3} [/mm] mit [mm][mm] A_a [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 1 & 2 }.
[/mm]
Für welche Werte von [mm]a \in \IZ ist A_a^{-1} \in \IZ^{3\times3}[/mm]? |
Wie kann man da systematisch vorgehen? Ich weiß zwar, dass die Lösungen {0, -2} sind, aber außer brute force fällt mir nichts dazu ein. Und das ist ja Mist. Ich hab die Determinante 1+a bestimmt. Somit gilt ja, dass A für alle a != -1 invertierbar ist. Aber irgendwie hilft mir das bei der Aufgabenstellung auch nicht weiter (außer eben, dass -1 keine Lösung ist).
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Fr 22.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm][mm]A_a \in \IQ^{3\times3}[/mm] mit [mm][mm]A_a[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 1 & 2 }.[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Für welche Werte von [mm]a \in \IZ ist A_a^{-1} \in \IZ^{3\times3}[/mm]?[/mm][/mm]
> [mm][mm] Wie kann man da systematisch vorgehen? Ich weiß zwar, dass die Lösungen {0, -2} sind, aber außer brute force fällt mir nichts dazu ein. Und das ist ja Mist. Ich hab die Determinante 1+a bestimmt. Somit gilt ja, dass A für alle a != -1 invertierbar ist. Aber irgendwie hilft mir das bei der Aufgabenstellung auch nicht weiter (außer eben, dass -1 keine Lösung ist). [/mm][/mm]
Für a [mm] \ne [/mm] -1 invertiere die Matrix und schau nach für welche a [mm] \in \IZ [/mm] die Einträge in [mm] A_a^{-1} [/mm] ganze Zahlen sind.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke, das ich habe ich jetzt getan und komme auf das richtige Ergebnis. Aber gibt es da noch einen anderen, kürzeren Weg? Die Aufgabe ist aus einer Referenzklausur und mit einem Punkt bewertet. Da ich gerade recht lange gebraucht habe, um die Inverse mit Parameter a aufzustellen und aus den Brüchen alle richtigen Ergebnisse herauszubekommen, finde ich das verhältnismäßig lang für einen Punkt.
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielleicht suchst Du dies:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{\operatorname{adj} (A)}{\det(A)} [/mm] .
Dabei ist adj(A) die Adjunkte von A.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Fr 22.07.2011 | | Autor: | johnnyboy |
Danke für die Antwort. Hier die Adjunkte zu berechnen würde mich aber vermutlich mehr Zeit kosten, als die Inverse via Gauß.
Grüße
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
es gibt auch noch den Satz: Sei $A \in \IZ^{n\times n}$ invertierbar. Dann ist $A^{-1} \in \IZ^{n\times n} } \gdw det(A)=\pm 1 $.
Da wollte vielleicht angela drauf hinaus (??)
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 24.07.2011 | | Autor: | johnnyboy |
Hab die Antwort erst jetzt gesehen. Genau so einen Satz habe ich gesucht, danke.
Wie das mit der Adjunkten zusammenhängt verstehe ich aber noch nicht ganz. Auf jeden Fall hilft mir dieser Satz weiter.
Grüße
|
|
|
|
