Inverse Rechenregel beweisen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Sei (G,*) eine Gruppe mit Neutralelement e.
Zeigen Sie, für alle g,h [mm] \in [/mm] G gilt: [mm] (gh)^{-1} [/mm] = [mm] h^{-1}g^{-1} [/mm] |
Hallo,
ich habe zwar schon einen Beweis durchgeführt, nur hängt der an einer Stelle von der Kommunativität ab. Könnte man den Beweis auch anders führen, ohne auf die Kommu. zurück zu greifen? Denn eigentlich weiß ich ja nicht, dass meine Gruppe eine abelsche ist.
Hier mal mein Beweis:
Laut Def. gilt: [mm] a^{-1}*a=e
[/mm]
Also gilt auch: [mm] (gh)^{-1}*(gh) [/mm] = e [mm] (\*)
[/mm]
Außerdem gilt: [mm] g^{-1}*g=e [/mm] und [mm] h^{-1}*h=e
[/mm]
Somit: [mm] (g^{-1}*g)*(h^{-1}*h) [/mm] = [mm] e*(h^{-1}*h) [/mm] = [mm] h^{-1}*h [/mm] = e
[mm] \gdw (h^{-1}*g^{-1})*(g*h) [/mm] = e [mm] (\*)
[/mm]
Die beiden [mm] (\*) [/mm] werden gleichgesetzt:
[mm] (gh)^{-1}*(gh) [/mm] = [mm] (h^{-1}*g^{-1})*(gh)
[/mm]
[mm] \gdw (gh)^{-1} [/mm] = [mm] (h^{-1}*g^{-1})
[/mm]
Grüße
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> Sei (G,*) eine Gruppe mit Neutralelement e.
> Zeigen Sie, für alle g,h [mm]\in[/mm] G gilt: [mm](gh)^{-1}[/mm] =
> [mm]h^{-1}g^{-1}[/mm]
Hallo,
Du erkennst und benennst den Fehler in Deinem Beweis ja selbst sehr genau: Du vertauschst, ohne daß die Gruppe abelsch ist, und hierfür hast Du keinen "Erlaubnisschein" im Form eines Axioms oder Satzes.
Du mußt die Sache also anders angehen.
Was bedeutet denn [mm] (gh)^{-1}? [/mm] Das inverse Element von gh.
Woran erkennt man das inverse Element, ich nenne es gerade mal [mm] i_{gh}? [/mm] Daran, daß [mm] (gh)*i_{gh}=e [/mm] gilt.
So, nun rechne mal [mm] (gh)(h^{-1}g^{-1}) [/mm] aus...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Gut, dann haben wir:
[mm] (gh)(h^{-1}g^{-1}) [/mm] = [mm] (g*h^{-1})*(g*g^{-1})*(h*h^{-1})*(h*g^{-1})
[/mm]
= [mm] (g*h^{-1})*e*e*(h*g^{-1}) [/mm] = [mm] g*h^{-1}*h*g^{-1} [/mm] = [mm] g*e*g^{-1} [/mm] = [mm] g*g^{-1} [/mm] = e
Nun weiß ich das gilt:
[mm] (gh)*(gh)^{-1}=e [/mm] und [mm] (gh)*(h^{-1}g^{-1}) [/mm] = e
Gleichgesetzt ergibt dies: [mm] (gh)^{-1} [/mm] = [mm] h^{-1}g^{-1}
[/mm]
Stimmt das so alles bzw. hast du das so gemeint?
Danke & Grüße
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> Gut, dann haben wir:
> [mm](gh)(h^{-1}g^{-1})[/mm] =
> [mm](g*h^{-1})*(g*g^{-1})*(h*h^{-1})*(h*g^{-1})[/mm]
Hallo,
bereits hier hast Du mich abgehängt.
Woher kommt das Gleichheitszeichen?
Mach nicht mehrere Schritte auf einmal, sondern alles einzeln und schreib jeweils eine Begründung hin.
Okay, ich glaub' ich sehe, was Du Dir gedacht hast, aber du brauchst es wie gesagt kleinschrittig.
Dein Tun ist zu umständlich!
Wenn Du das Assoziativgesetz verwendest, bist du schnell dabei, daß e herauskommt.
> = [mm](g*h^{-1})*e*e*(h*g^{-1})[/mm] = [mm]g*h^{-1}*h*g^{-1}[/mm] =
> [mm]g*e*g^{-1}[/mm] = [mm]g*g^{-1}[/mm] = e
>
> Nun weiß ich das gilt: [mm] $(gh)*(gh)^{-1}=e$ [/mm]
Vor allem weißt Du, daß zu gh ein Inverses existiert! Das ist das Entscheidende.
> und [mm](gh)*(h^{-1}g^{-1})[/mm] = e
> Gleichgesetzt ergibt dies: [mm](gh)^{-1}[/mm] = [mm]h^{-1}g^{-1}[/mm]
Naja, einfach gleichsetzen reicht da nicht.
Du mußt schon vorrechnen, wie Du vom Gleichsetzen zu diesem Resultat kommst.
>
> Stimmt das so alles bzw. hast du das so gemeint?
Im Prinzip ja.
Meine Argumentation ist: es ist [mm] (gh)(h^{-1}g^{-1})=e.
[/mm]
Also ist [mm] h^{-1}g^{-1} [/mm] das inverse Element zu gh, in Zeichen [mm] (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}.
[/mm]
Es ist eigentlich das, was Du mit Deinem Gleichsetzen tust.
Gruß v. Angela
> Danke & Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 04.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Also ich habe deinen Ansatz [mm] (gh)(h^{-1}g^{-1}) [/mm] ja quasi "ausmultipliziert". Aber kann ich das auch so machen? Denn eigentlich ist nicht gegeben, wie die Verknüpfung der Gruppe genau aussieht. Oder war dein Ansatz anders gemeint?
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> Also ich habe deinen Ansatz [mm](gh)(h^{-1}g^{-1})[/mm] ja quasi
> "ausmultipliziert".
Hallo,
was meinst Du mit "ausmultipliziert"? Es klingt etwas dubios...
Zeig die Rechnung ganz kleinschrittig, und - ganz wichtig! - sag bei allem, was Du tust, das gesetz, welches Du gerade verwendest.
Das brauchen wir, um über richtig und falsch zu entscheiden, und diese vorgehnsweise bewahrt Dich auch vor unerlaubtem Tun.
> Aber kann ich das auch so machen? Denn
> eigentlich ist nicht gegeben, wie die Verknüpfung der
> Gruppe genau aussieht. Oder war dein Ansatz anders gemeint?
Da ich nicht wieß, was Du genau getan hast, kann ich da snicht sagen.
Ich hatte es so für Dich geplant:
[mm] $(gh)(h^{-1}g^{-1})$ =$g(h(h^{-1}g^{-1}))$ [/mm] qquad Assoziativgesetz
[mm] =g((hh^{-1})g^{-1}) \qquad [/mm] Assoziativgesetz
[mm] =g(eg^{-1})\qquad [/mm] inverses Element
[mm] =gg^{-1} \qquad [/mm] neutrales Element
=e [mm] \qquad [/mm] inverses Element.
Gruß v. Angela
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