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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:28 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Salome |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass in einer endlichen Gruppe gerader Ordnung eine Involution existiert |
Ich denke, dass man auf jeden Fall den Satz von Lagrange verwenden muss, dass [G]= [U] [G:U]: Denn G ist ja endlich und dann muss [U] ein Teiler von [G]sein, also 2. (aber wie kann ich zeigen, dass es nicht n/2 ist, wenn [G]=n?) Wenn ich eine Untergruppe mit zwei Elementen habe,müsste ich die doch dadurch konstruieren können, dass sie aus einem ELement der ord 2 besteht. Aber wie kann ich diese Ideen zu einem Beweis führen?
Und gilt der Satz eigentlich auch, wenn G nicht endlich ist?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Sa 03.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen sie, dass in einer endlichen Gruppe gerader Ordnung
> eine Involution existiert
Was genau verstehst du unter Involution? Normalerweise ist eine Involution ein nicht-trivialer Gruppenhomomorphismus (oder sogar schlicht eine nicht-triviale Abbildung) [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$ mit [mm] $\varphi \circ \varphi [/mm] = id$. Von dem Rest deiner Frage her scheinst du jedoch eher nach Elementen der Ordnung zwei zu suchen...
> Ich denke, dass man auf jeden Fall den Satz von Lagrange
> verwenden muss, dass [G]= [U] [G:U]: Denn G ist ja endlich
> und dann muss [U] ein Teiler von [G]sein, also 2. (aber wie
Was ist denn $U$?
> kann ich zeigen, dass es nicht n/2 ist, wenn [G]=n?) Wenn
Warum sollte es $2$ oder $n/2$ sein? Es kann doch ein beliebiger Teiler von $n$ sein...
> ich eine Untergruppe mit zwei Elementen habe,müsste ich die
> doch dadurch konstruieren können, dass sie aus einem
> ELement der ord 2 besteht.
... und dem neutralen Element.
> Aber wie kann ich diese Ideen zu
> einem Beweis führen?
Gar nicht. Der Satz von Lagrange macht keine Existenzaussage ueber Untergruppen.
> Und gilt der Satz eigentlich auch, wenn G nicht endlich
> ist?
Ja. Aber dort bringt er effektiv nichts...
Wenn du zeigen willst, dass in einer Gruppe $G$ mit gerader Ordnung ein Element der Ordnung 2 existiert, dann geh doch wie folgt vor. Nimm an, es gibt kein solches Element, und betrachte $X := G [mm] \setminus \{ e \}$. [/mm] Dann ist $|X|$ ungerade.
Jetzt betrachtest du auf $X$ die Aequivalenzrelation $a [mm] \sim [/mm] b$ genau dann, wenn $a = b$ oder $a = [mm] b^{-1}$. [/mm] Wie sehen die Aequivalenzklassen aus (insb. wieviele Elemente haben sie)? Kannst du damit etwas ueber $|X|$ sagen?
LG Felix
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