Irreduzible Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Entscheiden Sie für die unten genannten Ringe R, ob das Polynom
f = [mm] 33t^4 [/mm] + [mm] 15t^2 [/mm] + 45 [mm] \in [/mm] R[t]
irreduzibel ist. Ist es nicht irreduzibel, bestimmen Sie eine Zerlegung von f in irreduzible
Faktoren.
a) R [mm] =\IF2. [/mm]
c) R [mm] =\IQ. [/mm]
b) R = [mm] \IZ. [/mm] |
Hallo! Ich hab da mal ne Frage und zwar:
Zunächst kann ich hier Eisenstein anwenden, weil
Sei p=5
1. 5 teilt nicht 33
2.5 / 15 und 5 / 45
3. [mm] 5^2 [/mm] teilt nicht 45
also ist f in [mm] \IQ[x] [/mm] irreduzibel.
Da f nicht primitv, da [mm] ggt(33,15,45)\not=1 [/mm] ist es in [mm] \IZ [/mm] reduzibel?
Wenn ja muss ich dann f durch [mm] x^2 [/mm] +x+1 teilen um eine reduzible Zerlegung zu finden?
Danke schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
LG Natascha
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Do 11.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Entscheiden Sie für die unten genannten Ringe R, ob das
> Polynom
> f = [mm]33t^4[/mm] + [mm]15t^2[/mm] + 45 [mm]\in[/mm] R[t]
> irreduzibel ist. Ist es nicht irreduzibel, bestimmen Sie eine Zerlegung von f in irreduzible
> Faktoren.
> a) R [mm]=\IF2.[/mm]
> c) R [mm]=\IQ.[/mm]
> b) R = [mm]\IZ.[/mm]
> Hallo! Ich hab da mal ne Frage und zwar:
> Zunächst kann ich hier Eisenstein anwenden, weil
> Sei p=5
> 1. 5 teilt nicht 33
> 2.5 / 15 und 5 / 45
> 3. [mm]5^2[/mm] teilt nicht 45
> also ist f in [mm]\IQ[x][/mm] irreduzibel.
Ja.
> Da f nicht primitv, da [mm]ggt(33,15,45)\not=1[/mm] ist es in [mm]\IZ[/mm] reduzibel?
Ja.
> Wenn ja muss ich dann f durch [mm]x^2[/mm] +x+1 teilen um eine reduzible Zerlegung zu finden?
Das verstehe ich gar nicht. Wenn Du ein Polynom durch ein anderes teilst, erhaelst Du als Ergebnis ein Polynom, und eventuell einen Rest, aber keine irreduzible Zerlegung. Auch sehe ich nicht, wie [mm] $x^{2}+x+1$ [/mm] ins Spiel kommt.
> Danke schon mal
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
> LG Natascha
|
|
|
| |
|
Ha hab den Fehler gefunden, dachte das wäre das einzige irreduzible quadratische Polynom aber das gilt ja nur in [mm] \IF2.
[/mm]
Aber wie finde ich jetzt eine Zerlegung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 11.09.2014 | | Autor: | hippias |
Ein Standardverfahren gibt es wohl nicht. Typischerweise versucht man ersteinmal Nullstellen zu finden. Bei Deinem Beispiel ist es aber viel simpler. Vermutlich so einfach, dass Du es schlicht uebersiehst: da steckt aus "ausgeartetes" Polynom als Faktor drin. Bzw. Du hast ja Primitivitaet erwaehnt: was heisst das eigentlich nochmal fuer ein Polynom?
|
|
|
|
