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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 17.06.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Sei V ein euklidischer Vektorraum, f : V -> V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Gilt ||f(v)||=||v|| für alle v [mm] \in [/mm] V , so ist f eine Isometrie. |
Ich brauche da nur mal einen Tipp, stehe auf dem Schlauch:
Habe so begonnen:
||f(v)||+||f(w)||=||v||+||w||
Ich muss ja hier hin:
[mm] $\langle [/mm] f(v), f(w) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v,w [mm] \rangle$
[/mm]
Wegen der Linearität gilt doch folgendes:
[mm] $||f(v)||+||f(w)||=\langle [/mm] f(v+w), f(v+w) [mm] \rangle=\langle [/mm] v,v [mm] \rangle+\langle [/mm] w,w [mm] \rangle$
[/mm]
Ist der Anfang überhaupt korrekt oder stimmt das so mit Linearität nicht?
Danke schonmal.
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Hallo,
> Sei V ein euklidischer Vektorraum, f : V -> V eine lineare
> Abbildung. Zeigen Sie:
> (a) Gilt ||f(v)||=||v|| für alle v [mm]\in[/mm] V , so ist f eine
> Isometrie.
> Ich brauche da nur mal einen Tipp, stehe auf dem
> Schlauch:
>
> Habe so begonnen:
>
> ||f(v)||+||f(w)||=||v||+||w||
>
> Ich muss ja hier hin:
>
> [mm]\langle f(v), f(w) \rangle = \langle v,w \rangle[/mm]
>
> Wegen der Linearität gilt doch folgendes:
>
> [mm]||f(v)||+||f(w)||=\langle f(v+w), f(v+w) \rangle=\langle v,v \rangle+\langle w,w \rangle[/mm]
>
> Ist der Anfang überhaupt korrekt oder stimmt das so mit
> Linearität nicht?
Eine Norm ist nicht additiv, sondern es gilt nur die Dreiecksungleichung.
Verwende besser die Polarisierungsformel
<x,y>= [mm] \frac{1}{4}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2).
[/mm]
Erinnerung: [mm] \|x\|^2=.
[/mm]
>
> Danke schonmal.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Di 19.06.2012 | | Autor: | AntonK |
Ahhh, na klar, ich habs nun, danke :D
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