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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Di 12.02.2008 | | Autor: | Flamy |
| Aufgabe | | Es sei S die menge aller natürlichen Teiler von 100. Sind die Algebren (S,ggT) und (S,kgV) zueinander Isomorph? |
Hallo erstmal. Also mein Problem befasst sich nicht mit der Rechnung sondern mit dem Verständnis des Isomorphismus. Ich habe die Lösung der Aufgabe vor mir liegen nur verstehe ich einige Schritte einfach nicht. Im ersten Schritt haben wir nur die Teiler der Zahl 10 betrachtet also n={1,2,5,10} und [mm] h:S\mapsto{S} [/mm] daraus haben wir zur veranschaulichung zweu tabellen erstellt einmal mit den ggTs und einmal mit den kgVs. Daran haben wir bewiesen, dass eine vertauschbarkeit vorliegt und wir haben definiert, [mm] h:1\mapsto{10}, h:2\mapsto{5}, h:5\mapsto{2}, h:10\mapsto{1}. [/mm] Aus diesen Abbildungen haben wir die Formel [mm] \frac{10}{x}=h(x) [/mm] erstellt. Soweit habe ich das auch verstanden nur dann kommen wir an den Punkt der mir unklar ist. Wir haben gesagt, das h(ggT(a,b))=kgV(h(a),h(b)) ist. Warum ist das so?
Mfg
Jan
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Gruß!
Naja, der Satz gilt ganz allgemein: ist $N$ eine beliebige natürliche Zahl und $S$ die Menge ihrer Teiler, dann sind [mm] $(S,\mbox{ggT})$ [/mm] und [mm] $(S,\mbox{kgV})$ [/mm] isomorph.
Ihr habt das für $N = 10$ explizit hingeschrieben und den Isomorphismus $h$ bestimmt, der jeden Teiler $a$ von $N$ auf den "komplementären" Teiler $a'$ schickt, für den gilt $a [mm] \cdot [/mm] a' = N$, also $a' = [mm] \frac{N}{a} [/mm] = h(a)$.
Soweit so gut, es bleibt aber noch zu zeigen, dass dieses $h$ wirklich das Gewünschte leistet, nämlich ggT und kgV wie angegeben zu respektieren. Dafür ist zu zeigen:
[mm] $h\big(\mbox{ggT}(a,b)\big) [/mm] = [mm] \mbox{kgV}\big(h(a),h(b)\big)$.
[/mm]
Das ist aber gar nicht schwer - überlege Dir einfach folgende Aussage:
Sind $a$ und $b$ Teiler von $N$, dann gilt $a|b [mm] \iff [/mm] h(b)|h(a)$.
Damit kannst Du alles beweisen. Denn ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$, dann gilt $d|a$ und $d|b$, also nach der Aussage oben $h(a)|h(d)$ und $h(b)|h(d)$. Damit ist $h(d)$ ein gemeinsames Vielfaches von $h(a)$ und $h(b)$. Jetzt musst Du noch zeigen, dass jedes weitere gemeinsame Vielfache (welches o.B.d.A. ebenfalls ein Teiler von $N$ ist) ebenfalls von $h(d)$ geteilt wird. Verwende dazu wieder die Aussage und die Tatsache, dass $d$ größter gemeinsamer Teiler ist.
EDIT: Man sollte hier natürlich aufpassen! Denn [mm] $(S,\mbox{ggT},\mbox{kgV})$ [/mm] bildet nur dann eine Boolsche Algebra, wenn $N$ quadratfrei ist. (Übung!)
Alles klar? 
Lars
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