Isomorphie von Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist es erlaubt zu sagen: Seien zwei Gruppen, G und H, wobei |G|=|H| und die Anzahl von g [mm] \in [/mm] G mit |g|=n ist gleich der Anzahl von h [mm] \in [/mm] H mit |h|=n fuer alle n. (also ist gibt gleiche viele ELemente mit Ordnung n in H wie in G) Dann sind G und H isomorph. |
Mein Prof war mit dieser Aussage nicht einverstanden und meinte ich soll ein Gegenbeispiel suchen. Leider finde ich keins. Hat jemand eine Idee? Ich verstehe nämlich nicht wieso das nicht stimmen sollte....
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Ich bin zwar kein Experte in Algebra, aber ich denke das Problem mit der Formulierung ist die Aussage "für alle n". Denn dann hast du ja implizit auch den Fall [mm] $n=\infty$ [/mm] mit drin und ich denke dieser Fall könnte Probleme bereiten.
Zwei Gruppen sind isomorph, wenn es einen Gruppenisomorphismus zwischen ihnen gibt. Überlege mal, welche Eigenschaften so ein Gruppenisomorphismus haben muss und wie man dann vielleicht ein Gegenbeispiel konstruieren kann.
LG,
MaSch882
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Kleinsche Vierergruppe
[mm] \circ [/mm] | 1 |a |b |c
---+---+--+--+----
1 | 1 |a |b |c
a | a |1 |c |b
b | b |c |1 |a
c | c |b |a |1
Zyklische Vierergruppe
[mm] \circ [/mm] | 1 |a |b |c
---+---+--+--+----
1 | 1 |a |b |c
a | a |b |c |1
b | b |c |1 |a
c | c |1 |a |b
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:37 So 04.06.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
zwar haben die beiden angeführten Gruppen die gleiche Ordnung, nicht aber ihre Elemente
Gruß, Diophant
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Ich halte
> "Ist es erlaubt zu sagen: Seien zwei Gruppen, G und H, wobei
> |G|=|H| und die Anzahl von g $ [mm] \in [/mm] $ G mit |g|=n ist gleich der
> Anzahl von h $ [mm] \in [/mm] $ H mit |h|=n fuer alle n"
für die Voraussetzung einer Aussage und die beiden Teile
> "(also es gibt gleiche viele ELemente mit Ordnung n in H wie in G) Dann sind G und H isomorph"
beides für Schlussfolgerungen. Mein Beispiel soll zeigen, dass beide Schlussfolgerungen falsch sind.
Vermutlich verstehe ich aber nicht, was das Wort "also" bedeutet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Mo 05.06.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
der Fragesteller möchte wissen, ob man aus folgenden Sachverhalten:
- dass zwei Gruppen gleiche Ordnung haben
- dass für jedes [mm] n\in\IN\cup{\infty} [/mm] in beiden Gruppe gleich viele Element mit Ordnung n liegen
bereits schlussfolgern kann, dass beide Gruppen isomorph sind. Sein Dozent hat ihm (bzw. ihr) dazu die Empfehlung ausgesprochen, ein Gegenbeispiel zu finden, und darum dreht sich die Frage (weil die Schlussfolgerung falsch ist) .
Insofern sollte ein solches Gegenbeispiel zwei Gruppen beschreiben, auf die obiges zutrifft. Das ist in deinem Beispiel nicht der Fall: in der Kleinschen Vierergruppe hat jedes Element (außer dem neutralen E.) die Ordnung 2 während in der Zyklischen Gruppe der Ordnung 4 das Element b Ordnung 2, die Elemente a und c jedoch die Ordnung 4 besitzen. Und somit ist es (das Beispiel) zur Klärung der obigen Frage irrelevant. Und was du als Schlussfolgerung bezeichnest, ist doch nur eine Umformulierung des weiter oben Geschriebenen. Dass die betreffende Schlussfolgerung falsch ist, war doch schon vor dem Verfassen der Frage klar.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> der Fragesteller möchte wissen, ob man aus folgenden
> Sachverhalten:
>
> - dass zwei Gruppen gleiche Ordnung haben
> - dass für jedes [mm]n\in\IN\cup{\infty}[/mm] in beiden Gruppe
> gleich viele Element mit Ordnung n liegen
...
Und ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, ob man aus folgendem Sachverhalt:
- dass zwei Gruppen gleiche Ordnung haben
schlussfolgern kann, dass
- in beiden Gruppen gleich viele Element mit Ordnung n liegen ("also..."!) und
- beide Gruppen isomorph sind.
Im Wort "also" sehe ich eine Schlussfolgerung und keine Ergänzung. Oder bedeuten die Betragsstriche bei |g| bzw. |h| die Ordnung eines Elements? Das wäre mir neu.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Mo 05.06.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Und ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, ob man aus
> folgendem Sachverhalt:
>
> - dass zwei Gruppen gleiche Ordnung haben
>
> schlussfolgern kann, dass
> - in beiden Gruppen gleich viele Element mit Ordnung n
> liegen ("also..."!) und
> - beide Gruppen isomorph sind.
>
> Im Wort "also" sehe ich eine Schlussfolgerung und keine
> Ergänzung. Oder bedeuten die Betragsstriche bei |g| bzw.
> |h| die Ordnung eines Elements? Das wäre mir neu.
Die Verwendung der Betragsstriche in diesem Zusammenhang ist vermutlich ein Fehler. Da im Themenstart in diesem Zusammenhang jedoch das Wort Anzahl verwendet wird, kann man ihn meiner Meinung nach nicht so verstehen, wie du das offensichtlich tust. Auch fachlich gesehen ergibt deine Interpretation eher keinen Sinn, denn (wenn man der Ansicht wäre, dass aus gleicher Gruppenordnung bereits Isomorphie folgt) dann müsste man nach der Ordnung der Elemente überhaupt nicht fragen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
betrachte Gruppen der Ordnung 8.
Gruß, Diophant
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