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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Di 24.10.2006 | | Autor: | ron |
| Aufgabe | Es gilt:
[mm] V_4 \cong Z_2 [/mm] x [mm] Z_2
[/mm]
[mm] V_4 \cong Z_4
[/mm]
Beweise:
[mm] Z_4 {\not}{\cong} Z_2 [/mm] x [mm] Z_2 [/mm] bzw. [mm] Z_{128} {\not}{\cong} Z_2 [/mm] x [mm] Z_{64} [/mm] |
Hallo,
ist wohl eine einfache Sache, aber ich komme nicht mehr drauf.
Isomorphie war zunächst die Existenz einer bijektiven Abbildung zwischen den Mengen/Gruppen
Dann kann man u.a. die Primfaktorzerlegung nehmen:
1: [mm] Z_{m*n} \cong Z_n [/mm] x [mm] Z_m [/mm] wenn ggT(n,m) = 1
2: 1 [mm] \le d_1 [/mm] | [mm] d_2 [/mm] | ... [mm] d_n [/mm] |n mit [mm] \produkt_{i=1}^{n} d_i [/mm] = n
3: [mm] Z_n \cong Z_{q_1} [/mm] x ... x [mm] Z_{q_i} [/mm] mit [mm] q_i [/mm] Primzahlpotenzen [mm] q_i \not= q_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j
Letzte Möglichkeit über Anzahl der Elemente, z.B. [mm] Z_6 {\not}{\cong} S_4 [/mm]
Bitte um kurzen Beweisanstoß, danke.
Ron
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> Es gilt:
>
> [mm]V_4 \cong Z_2[/mm] x [mm]Z_2[/mm]
> [mm]V_4 \not\cong Z_4[/mm]
>
> Beweise:
> [mm]Z_4 {\not}{\cong} Z_2[/mm] x [mm]Z_2[/mm] bzw. [mm]Z_{128} {\not}{\cong} Z_2[/mm]
> x [mm]Z_{64}[/mm]
> Hallo,
> ist wohl eine einfache Sache, aber ich komme nicht mehr
> drauf.
> Isomorphie war zunächst die Existenz einer bijektiven
> Abbildung zwischen den Mengen/Gruppen
> Dann kann man u.a. die Primfaktorzerlegung nehmen:
> 1: [mm]Z_{m*n} \cong Z_n[/mm] x [mm]Z_m[/mm] wenn ggT(n,m) = 1
> 2: 1 [mm]\le d_1[/mm] | [mm]d_2[/mm] | ... [mm]d_n[/mm] |n mit [mm]\produkt_{i=1}^{n} d_i[/mm]
> = n
> 3: [mm]Z_n \cong Z_{q_1}[/mm] x ... x [mm]Z_{q_i}[/mm] mit [mm]q_i[/mm]
> Primzahlpotenzen [mm]q_i \not= q_j[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j
> Letzte Möglichkeit über Anzahl der Elemente, z.B. [mm]Z_6 {\not}{\cong} S_4[/mm]
> Bitte um kurzen Beweisanstoß, danke.
> Ron
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Mi 25.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela,
deine Antwort verstehe ich nicht ganz  Ist da beim Abschicken was schief gegangen?
LG Felix
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> Hallo Angela,
>
> deine Antwort verstehe ich nicht ganz
Und ich dachte schon: ein Frauenversteher! Nachdem Du doch auch das mit dem [mm] S_3 [/mm] herausgefunden hast...
>Ist da beim
> Abschicken was schief gegangen?
Mehr als das! Es war eine Fahrt in die Notfallambulanz des Klinikums fällig...
Abgeschickt muß es der Kater haben. Anders kann ich es mir jedenfalls nicht erklären.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Mi 25.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es gilt:
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> [mm]V_4 \cong Z_2[/mm] x [mm]Z_2[/mm]
> [mm]V_4 \cong Z_4[/mm]
>
> Beweise:
> [mm]Z_4 {\not}{\cong} Z_2[/mm] x [mm]Z_2[/mm] bzw. [mm]Z_{128} {\not}{\cong} Z_2[/mm]
> x [mm]Z_{64}[/mm]
> Hallo,
> ist wohl eine einfache Sache, aber ich komme nicht mehr
> drauf.
Bei diesen Aufgaben reicht schon folgendes voellig aus: Wenn in einer Gruppe $G$ fuer ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass $n g = e$ ist fuer alle $g [mm] \in [/mm] G$ ($e$ sei das neutrale Element), und in einer Gruppe $H$ gilt $n h [mm] \neq [/mm] e$ fuer ein $h [mm] \in [/mm] H$, dann koennen $G$ und $H$ nicht isomorph sein. (Das zeigst du so: Angenommen, sie sind isomorph. Sei [mm] $\varphi [/mm] : H [mm] \to [/mm] G$ ein Isomorphismus. Dann ist $e = [mm] \varphi(e) \neq \varphi(n [/mm] h) = n [mm] \varphi(h) [/mm] = e$, ein Widerspruch.)
Versuch das mal bei den Gruppen oben anzuwenden. Bei $G = [mm] \IZ_2 \times \IZ_{64}$ [/mm] tuts zum Beispiel $n = 64$, bei $H = [mm] \IZ_{128}$ [/mm] nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Mi 25.10.2006 | | Autor: | ron |
Hallo angela, hoffe die Fahrt ist gut zu Ende gegangen und der/die Patientin ist wieder fit!
Hallo felix,
an diese Möglichkeit habe ich gar nicht mehr gedacht die Linearität des Isomorphismuses zum Widerspruchsbeweis auszunutzen über das neutrale Element.
Denn es gilt doch: $ G [mm] \cong [/mm] H [mm] \rightarrow \varphi [/mm] (e) = e' [mm] \in [/mm] H [mm] \wedge [/mm] e [mm] \in [/mm] G $
MfG
Ron
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