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Hi, ich habe mal eine Frage dazu, dass [mm] \IR[x]/(x^2+1) \cong \IC [/mm] ist. Wie kann denn konkret so ein Isomorphismus aussehen, der { [mm] (x^2+1)*p(x); p(x)\in \IR[x] [/mm] } in die komplexen Zahlen abbildet?
Wir hatten die Isomorphie mit dem Homomorphiesatz begründet, dazu die Voraussetzungen hingeschrieben, dass [mm] (f(x)=x^2+1) [/mm] = [mm] ker(\phi), \phi: \IR[x]->\IC [/mm] mit [mm] g\mapsto [/mm] g(i) ist der Einsetzungshomomorphismus. Stimmt das alles soweit? Lg
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Hallo Schachtel5,
> Hi, ich habe mal eine Frage dazu, dass [mm]\IR[x]/(x^2+1) \cong \IC[/mm] ist. Wie kann denn konkret so ein Isomorphismus aussehen,
> der [mm] \{(x^2+1)*p(x); p(x)\in \IR[x]\} [/mm] in die komplexen Zahlen abbildet?
Ich glaube, Du verwechselt hier was. Es ist
[mm] \IR[x]/(x^2+1) =\{[p]:p\in\IR[x]\}
[/mm]
die Menge der Äquivalenzklassen zur folgenden Relation auf [mm] \IR[X].
[/mm]
Seien [mm] r,s\in\IR[x]. [/mm] Es gilt [mm] $r\sim [/mm] s$ genau dann, wenn r-s ein Vielfaches von p ist.
> Wir hatten die Isomorphie mit dem Homomorphiesatz
> begründet, dazu die Voraussetzungen hingeschrieben, dass
> [mm](f(x)=x^2+1)[/mm] = [mm]ker(\phi), \phi: \IR[x]->\IC[/mm] mit [mm]g\mapsto[/mm] g(i) ist der Einsetzungshomomorphismus.
> Stimmt das alles soweit?
Ja, das kann man mit dem Homomorphiesatz begründen.
LG
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Danke. Hmm okay, so sehen die mengen dann also aus, muss mir das nochmal klarmachen. Wie würde denn da konkret so ein Isomorphismus aussehen? ich versuche das alles besser zu verstehen.
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Hallo,
> Danke. Hmm okay, so sehen die mengen dann also aus, muss
> mir das nochmal klarmachen. Wie würde denn da konkret so
> ein Isomorphismus aussehen? ich versuche das alles besser
> zu verstehen.
Den Isomorphismus bekommst Du direkt aus dem Homomorphiesatz.
Sei [mm] Z:=\IR[X]/(x^2+1).
[/mm]
Betrachte den Einsetzungshomomorphismus [mm] g:\IR[X]\to\IC, p\mapsto [/mm] p[i].
Der Kern davon ist das Ideal [mm] (X^2+1). [/mm] Es gibt die kanonische Projektionsabbildung [mm] \pi:\IR[X]\to [/mm] Z.
Der Isomorphismus [mm] \varphi: Z\to\IC [/mm] wird so gewählt, dass [mm] g=\varphi\circ\pi.
[/mm]
Hier wird [mm] \varphi [/mm] durch [mm] $[X]\mapsto [/mm] i$ und [mm] $[1]\mapsto1$ [/mm] bestimmt.
Interpretation: [mm] \pi(X)=[X] [/mm] ist Nullstelle von [mm] x^2+1 [/mm] in Z.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
achso ja okay, dass ist das, was uns der homomorphiesatz bringt. vielen dank
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