Jacobi Matrix und lineare Abbildungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mi 14.07.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich habe hier mal eine Aufgabe bearbeitet, die mir irgendwie zu einfach vorkommt, vielleicht habe ich mich auch nicht so in die Materie hineingedacht, da bald erstmal andere Klausuren anstehen...
Ich wäre hocherfreut, wenn das jemand bewerten könnte ^^
Aufgabe:
Es seien $m$, $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $L: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m}$ [/mm] eine lineare Abbildung mit darstellender Matrix $M [mm] \in \IR^{mxn}$ [/mm] ($L(x) = M*x$ für alle $x [mm] \in \IR^{n}$).
[/mm]
a)
Zeigen Sie: Für alle $a [mm] \in \IR^{n}$ [/mm] ist $(DL)(a) = M$.
b)
Nun seien $F: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n}$ [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion und $L: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n}$ [/mm] eine lineare, bijektive Abbildung. Für alle $x [mm] \in \IR^{n}$ [/mm] gelte weiter $(F o L)(x) = (L o F)(x)$. Welcher Zusammenhang besteht für $x [mm] \in \IR^{n}$ [/mm] zwischen $DF(x)$ und $DF(L(x))$?
Aufgabe a) ist recht einfach, an jeder Stelle der Jacobimatrix steht ein Polynom erster Ordnung für das entsprechende [mm] $x_{i}$, [/mm] das abgeleitet ergibt gerade den richtigen Eintrag für $M$.
Aufgabe b) lässt mich aber ein wenig an der Richtigkeit meiner Argumentation zweifeln:
$L$ lässt sich als lineare Abbildung über einem Körper durch eine Matrix $M$ darstellen, aus Aufgabe a) wissen wir, dass $DL(x) = M$ für alle $x [mm] \in \IR^{n}$ [/mm] gilt.
Weiterhin ist $L$ bijektiv, deswegen existiert [mm] $L^{-1}$ [/mm] mit
[mm] $L^{-1}(L(x)) [/mm] = [mm] L(L^{-1}(x)) [/mm] = x$.
Da $(F o L)(x) = (L o F)(x)$ für alle $x [mm] \in \IR^{n}$ [/mm] gilt, sollte auch $DF(L(x)) = M = DL(F(x))$ gelten (hier bin ich mir unsicher).
Dann müsste man doch sagen können:
$DF(x) = [mm] DF(L(L^{-1}(x))$ [/mm] (wegen der Vertauschbarkeit:)
$= [mm] DL(F(L^{-1}(x)) [/mm] = M$ (weil das für alle Elemente aus [mm] $\IR^{n}$ [/mm] gilt...)
$= DF(L(x))$
Irgendwie überzeugt mich das nicht so sehr o.O
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo AT-Colt!
> Aufgabe:
>
> Es seien [mm]m[/mm], [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]L: \IR^{n} \to \IR^{m}[/mm] eine
> lineare Abbildung mit darstellender Matrix [mm]M \in \IR^{mxn}[/mm]
> ([mm]L(x) = M*x[/mm] für alle [mm]x \in \IR^{n}[/mm]).
>
> a)
> Zeigen Sie: Für alle [mm]a \in \IR^{n}[/mm] ist [mm](DL)(a) = M[/mm].
>
>
> b)
> Nun seien [mm]F: \IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] eine stetig
> differenzierbare Funktion und [mm]L: \IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] eine
> lineare, bijektive Abbildung. Für alle [mm]x \in \IR^{n}[/mm] gelte
> weiter [mm](F o L)(x) = (L o F)(x)[/mm]. Welcher Zusammenhang
> besteht für [mm]x \in \IR^{n}[/mm] zwischen [mm]DF(x)[/mm] und [mm]DF(L(x))[/mm]?
> Aufgabe a) ist recht einfach, an jeder Stelle der
> Jacobimatrix steht ein Polynom erster Ordnung für das
> entsprechende [mm]x_{i}[/mm], das abgeleitet ergibt gerade den
> richtigen Eintrag für [mm]M[/mm].
Ja, es folgt aber noch einfacher aus der Definition der totalen Differenzierbarkeit.
> Aufgabe b) lässt mich aber ein wenig an der Richtigkeit
> meiner Argumentation zweifeln:
> [mm]L[/mm] lässt sich als lineare Abbildung über einem Körper durch
> eine Matrix [mm]M[/mm] darstellen, aus Aufgabe a) wissen wir, dass
> [mm]DL(x) = M[/mm] für alle [mm]x \in \IR^{n}[/mm] gilt.
> Weiterhin ist [mm]L[/mm] bijektiv, deswegen existiert [mm]L^{-1}[/mm] mit
>
> [mm]L^{-1}(L(x)) = L(L^{-1}(x)) = x[/mm].
> Da [mm](F o L)(x) = (L o F)(x)[/mm]
> für alle [mm]x \in \IR^{n}[/mm] gilt, sollte auch [mm]DF(L(x)) = M = DL(F(x))[/mm]
> gelten (hier bin ich mir unsicher).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Dann müsste man doch sagen können:
>
> [mm]DF(x) = DF(L(L^{-1}(x))[/mm] (wegen der Vertauschbarkeit:)
> [mm]= DL(F(L^{-1}(x)) = M[/mm] (weil das für alle Elemente aus
> [mm]\IR^{n}[/mm] gilt...)
> [mm]= DF(L(x))[/mm]
>
> Irgendwie überzeugt mich das nicht so sehr o.O
Mich auch nicht. 
Nach der Kettenregel folgt aus $F [mm] \circ [/mm] L = L [mm] \circ [/mm] F$ für alle $x [mm] \in \IR^{n}$:
[/mm]
$DF(L(x)) [mm] \cdot [/mm] DL(x) = DL(F(x)) [mm] \cdot [/mm] DF(x)$.
Ist $M$ die darstellende Matrix der linearen Abbildung $L$, so folgt aus der vorstehenden Gleichung und aus a):
$DF(L(x)) [mm] \cdot [/mm] M = M [mm] \cdot [/mm] DF(x)$,
also - da $M$ wegen der Bijektivität von $L$ invertierbar ist:
$DF(L(x)) = M [mm] \cdot [/mm] DF(x) [mm] M^{-1}$.
[/mm]
Die beiden Matrizen $DF(L(x))$ und $DF(x)$ sind also ähnlich.
Alles klar? 
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo AT-Colt!
Nun ja:
Ich soll Differentiale vergleichen. Ich bekomme eine Aussage über verkettete Abbildungen. "Differentiale"? "Verkettung"? Da rattert es im Kopf.... was war denn da noch gleich... ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ... die Kettenregel!
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mi 14.07.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Oh man, ich sollte mal meine Glühbirne auswechseln, die hat ganz schön was abbekommen ^^;
Ich danke euch beiden!
greetz
AT-Colt
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