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| Aufgabe | Sei V = [mm] K^{mxn} [/mm] der Vektorraum der mxn-Matrizen. Seien [mm] A\in K^{mxm} [/mm] und C [mm] \in K^{nxn} [/mm] nilpotente Matrizen der Ordnung i bzw. j.
Also [mm] A^i [/mm] = 0, aber [mm] A^{i-1} \not= [/mm] 0. Definiere [mm] L_A: V\to [/mm] V und [mm] R_C: V\to [/mm] V durch [mm] L_A*B [/mm] := AB (Links-Multipliaktion mit A) bzw. [mm] R_C*B [/mm] = BC (Rechts-Multiplikation mit C).
Setze [mm] M_A,_C [/mm] := [mm] L_A\circ R_C [/mm] = [mm] R_C \circ L_A.
[/mm]
In dieser Notation sei m=n=3 und
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
Bestimme eine Jordan-Basis von V = [mm] K^{3x3} [/mm] bzgl. [mm] M_A,_C. [/mm] Hinweis: Die EInheits-Basisvektoren von V haben nur zwei Indizes. |
Hallo,
also wie man mit einer Matrix die Jordan-Basis bestimmt weiß ich.
Aber hier habe ich ja zwei Jordan-Normalformen, mit denen ich eine Jordan-Basis bestimmen soll.
Sei B eine beliebige nilpotente Matrix.
Dann ergibt sich die Jordan-Basis zum Beispiel so:
[mm] \{e_1,(B-E)*e_1, (B-E)^2*e_1\}, [/mm] wenn man dann die Jordan-Normalform ausrechnet, bekommt man eine 3x3 Matrix, wo in der Diagonalen nur 0en stehen und unter der Diagonalen 1en.
Dreht man dies um, also:
[mm] \{(B_E)^2*e_1,(B-E)*e_1,e_1\} [/mm] erhält man eine Jordan-Normalform, wo in der Diagonalen wieder nur 0en stehen und über Diagonalen 1en.
Deshalb gehe ich davon aus das A und C die selben Basis-Vektoren haben.
Aber wenn ich ehrlich bin, komme ich mit der Notation nicht weiter. Ich verstehe den Zusammenhang mit diesem [mm] L_A [/mm] und [mm] R_C [/mm] nicht.
Ich wäre froh, wenn mir hier jemand weiter helfen könnte!
Lieben Gruß
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Mi 17.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei V = [mm]K^{mxn}[/mm] der Vektorraum der mxn-Matrizen. Seien [mm]A\in K^{mxm}[/mm]
> und C [mm]\in K^{nxn}[/mm] nilpotente Matrizen der Ordnung i bzw.
> j.
> Also [mm]A^i[/mm] = 0, aber [mm]A^{i-1} \not=[/mm] 0. Definiere [mm]L_A: V\to[/mm] V
> und [mm]R_C: V\to[/mm] V durch [mm]L_A*B[/mm] := AB (Links-Multipliaktion mit
> A) bzw. [mm]R_C*B[/mm] = BC (Rechts-Multiplikation mit C).
> Setze [mm]M_A,_C[/mm] := [mm]L_A\circ R_C[/mm] = [mm]R_C \circ L_A.[/mm]
>
>
> In dieser Notation sei m=n=3 und
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> [mm]C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Bestimme eine Jordan-Basis von V = [mm]K^{3x3}[/mm] bzgl. [mm]M_A,_C.[/mm]
> Hinweis: Die EInheits-Basisvektoren von V haben nur zwei
> Indizes.
> Hallo,
>
> also wie man mit einer Matrix die Jordan-Basis bestimmt
> weiß ich.
>
> Aber hier habe ich ja zwei Jordan-Normalformen, mit denen
> ich eine Jordan-Basis bestimmen soll.
> Sei B eine beliebige nilpotente Matrix.
> Dann ergibt sich die Jordan-Basis zum Beispiel so:
> [mm]\{e_1,(B-E)*e_1, (B-E)^2*e_1\},[/mm] wenn man dann die
> Jordan-Normalform ausrechnet, bekommt man eine 3x3 Matrix,
> wo in der Diagonalen nur 0en stehen und unter der
> Diagonalen 1en.
> Dreht man dies um, also:
> [mm]\{(B_E)^2*e_1,(B-E)*e_1,e_1\}[/mm] erhält man eine
> Jordan-Normalform, wo in der Diagonalen wieder nur 0en
> stehen und über Diagonalen 1en.
>
> Deshalb gehe ich davon aus das A und C die selben
> Basis-Vektoren haben.
>
> Aber wenn ich ehrlich bin, komme ich mit der Notation nicht
> weiter. Ich verstehe den Zusammenhang mit diesem [mm]L_A[/mm] und
> [mm]R_C[/mm] nicht.
> Ich wäre froh, wenn mir hier jemand weiter helfen
> könnte!
Ich versuche es mal. Statt [mm]M_A,_C[/mm] schreibe ich $T$.
$T$ ist eine Abbildung $T: [mm] K^{3x3} \to K^{3x3} [/mm] $, die mit den obigen Matrizen $A$ und $C$ wie folgt def. ist:
$T(B):=ABC$.
$T$ ordnet also jeder(!) Matrix $B [mm] \in K^{3x3} [/mm] $ die Matrix $ABC$ zu.
Der Raum $ [mm] K^{3x3} [/mm] $ hat die Dimension 9. Gesucht ist also einen Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] von $ [mm] K^{3x3} [/mm] $, derart, dass die Abbildungsmatrix von $T$ bezüglich [mm] \mathcal{B} [/mm] Jordannormalform hat. [mm] \mathcal{B} [/mm] hat 9 Elemente !
FRED
Statt
>
> Lieben Gruß
>
> Katrin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mi 17.06.2015 | | Autor: | Katti1712 |
Hallo Fred,
super vielen Dank für deine Hilfe!!
Ich denke, dass ich jetzt auf die richtige Lösung gekommen bin.
Lieben Gruß
Katrin
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