Jordanbasis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1} \in \IR^{4x4}
[/mm]
a) Bestimmen sie die Jordansche Normalform A' von A
b) Geben sie eine invertierbare Matrix S [mm] \in \IR^{4x4} [/mm] an, sodass [mm] A'=S^{-1}AS [/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dem Teil b) der Aufgabe.
Beim Teil a) läuft alles ganz gut, ich bekomme als JNF
A'= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, [/mm] was laut Musterlösung und Wolfram Alpha richtig ist.
Nun zum Teil b)
Ich weiß aus a):
Der einzige Eigenwert ist 1 und das charakteristische Polynom ist [mm] (x-1)^4
[/mm]
[mm] (A-I_4) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0}
[/mm]
Also ist der Rang von [mm] (A-I_4)=2
[/mm]
[mm] (A-I_4)^2 [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1}
[/mm]
Also ist der Rang von [mm] (A-I_4)^2=1
[/mm]
[mm] (A-I_4)^3=0-Matrix, [/mm] also ist [mm] Rang(A-I_4)^3=0
[/mm]
Jetzt würde ich gerne wissen, wie ich weitermache, denn wenn ich es so mache, wie wir es gelernt haben und wie die Musterlösung es macht, ist es falsch. Ich zeige euch einmal wie die Musterlösung lautet:
[mm] Da(A-I_4)^2e_1\ne0, [/mm] kann man als die ersten Vektoren einer Jordanbasis die Vektoren
[mm] b_1:=e_1, b_2:=(A-I^4)b_1=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}, b_3:= (A-I_4)^2b_1=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1} [/mm]
verwenden. Als vierten Vektor braucht man dann einen Vektor im Kern von [mm] (A-E_4) [/mm] (wieso?), der [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] zu einer Basis ergänzt, also noch nicht Vielfaches von [mm] b_3 [/mm] ist, z.B:
[mm] b_4 [/mm] := [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Damit ergibt sich eine mögliche Basiswechselmatrix S als die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 &1 &0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 }
[/mm]
Dies stimmt jedoch (laut Wolfram Alpha) nicht, denn wenn
ich S^(-1)AS berechne kommt
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] raus, was ja offensichtlich nicht A' ist.
Wo liegt der Fehler bzw. was muss ich generell machen?
Edit: Ich habe in Wolfram Alpha vergessen ein "-" Zeichen abzutippen, es kommt doch das richtige raus. Ich wäre aber trotzdem dankbar, wenn mir nochmal jemand das Algemeine Verfahren an diesem Beispiel erklären könnte.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo RunOrVeith,
> Gegeben sei
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1} \in \IR^{4x4}[/mm]
>
> a) Bestimmen sie die Jordansche Normalform A' von A
> b) Geben sie eine invertierbare Matrix S [mm]\in \IR^{4x4}[/mm] an,
> sodass [mm]A'=S^{-1}AS[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe ein Problem mit dem Teil b) der Aufgabe.
> Beim Teil a) läuft alles ganz gut, ich bekomme als JNF
> A'= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1},[/mm]
> was laut Musterlösung und Wolfram Alpha richtig ist.
> Nun zum Teil b)
> Ich weiß aus a):
> Der einzige Eigenwert ist 1 und das charakteristische
> Polynom ist [mm](x-1)^4[/mm]
> [mm](A-I_4)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0}[/mm]
>
> Also ist der Rang von [mm](A-I_4)=2[/mm]
> [mm](A-I_4)^2[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1}[/mm]
>
> Also ist der Rang von [mm](A-I_4)^2=1[/mm]
> [mm](A-I_4)^3=0-Matrix,[/mm] also ist [mm]Rang(A-I_4)^3=0[/mm]
Damit ist der lineare Operator [mm]A-I_{4}[/mm] nilpotent vom Grad 3.
Damit ist ein Vektor aus [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(A-I_{4}\right)^{3} \right)[/mm] zu wählen,
der aber nicht in [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(A-I_{4}\right)^{2} \right)[/mm] liegt.
> Jetzt würde ich gerne wissen, wie ich weitermache, denn
> wenn ich es so mache, wie wir es gelernt haben und wie die
> Musterlösung es macht, ist es falsch. Ich zeige euch
> einmal wie die Musterlösung lautet:
> [mm]Da(A-I_4)^2e_1\ne0,[/mm] kann man als die ersten Vektoren einer
> Jordanbasis die Vektoren
> [mm]b_1:=e_1, b_2:=(A-I^4)b_1=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}, b_3:= (A-I_4)^2b_1=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> verwenden. Als vierten Vektor braucht man dann einen Vektor
> im Kern von [mm](A-E_4)[/mm] (wieso?), der [mm]b_1,b_2,b_3[/mm] zu einer
> Basis ergänzt, also noch nicht Vielfaches von [mm]b_3[/mm] ist,
> z.B:
> [mm]b_4[/mm] := [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Es ist ein Vektor aus [mm]\operatorname{Kern}\left(A-E_{4}\right)[/mm] zu wählen,
da [mm]\operatorname{Rang}\left(A-E_{4}\right)=2[/mm] und erst ein solcher
Vektor gefunden wurde.
> Damit ergibt sich eine
> mögliche Basiswechselmatrix S als die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 &1 &0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 }[/mm]
>
> Dies stimmt jedoch (laut Wolfram Alpha) nicht, denn wenn
> ich S^(-1)AS berechne kommt
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> raus, was ja offensichtlich nicht A' ist.
Da hast Du Dich bei der Berechnung des Matrizenproduktes verrechnet,
denn die Basiswechselmatrix S stimmt.
> Wo liegt der Fehler bzw. was muss ich generell machen?
> Edit: Ich habe in Wolfram Alpha vergessen ein "-" Zeichen
> abzutippen, es kommt doch das richtige raus. Ich wäre aber
> trotzdem dankbar, wenn mir nochmal jemand das Algemeine
> Verfahren an diesem Beispiel erklären könnte.
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo, danke erstmal.
Ich habe gemerkt, dass ich mich verrechnet habe, es stimmt schon. Nur nochmal zur Methodik:
Wenn ich [mm] kern(A-I_4)^3 [/mm] bestimmt, so ist dieser ja ganz [mm] \IR^4
[/mm]
der [mm] Kern(A-I_4)^2 [/mm] ist ja dann der span von:
[mm] \vektor{1 \\0 \\ 0 \\ -1},\vektor{1 \\0 \\ -1 \\ 0},\vektor{1 \\-1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Also brauche ich einen Vektor, der nicht durch diese dargestellt werden kann, z.B. [mm] e_1.
[/mm]
Dann wähle ich einen Vektor in [mm] kern(A-I_4)^2, [/mm] der nicht im [mm] kern(A-I_4) [/mm] liegt, z.b [mm] (A-I_4)^2(e_1).
[/mm]
Dann wähle ich mir einen Vektor aus [mm] (A-I_4), [/mm] der linear unabhängig zu den bisher gewählten ist.
Ich brauche immer so viele Vektoren aus einem kern, wie der Rang dessen Matrix ist, also brauche ich noch einen aus [mm] (A-I_4), [/mm] der linea runabhängig zu den Restlichen ist.
Dann schreibe ich sie in der Reihenfolge des auffindens in meine Matrix S.
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
Hallo RunOrVeith,
> Hallo, danke erstmal.
> Ich habe gemerkt, dass ich mich verrechnet habe, es stimmt
> schon. Nur nochmal zur Methodik:
> Wenn ich [mm]kern(A-I_4)^3[/mm] bestimmt, so ist dieser ja ganz
> [mm]\IR^4[/mm]
> der [mm]Kern(A-I_4)^2[/mm] ist ja dann der span von:
> [mm]\vektor{1 \\0 \\ 0 \\ -1},\vektor{1 \\0 \\ -1 \\ 0},\vektor{1 \\-1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Also brauche ich einen Vektor, der nicht durch diese
> dargestellt werden kann, z.B. [mm]e_1.[/mm]
> Dann wähle ich einen Vektor in [mm]kern(A-I_4)^2,[/mm] der nicht
> im [mm]kern(A-I_4)[/mm] liegt, z.b [mm](A-I_4)^2(e_1).[/mm]
> Dann wähle ich mir einen Vektor aus [mm](A-I_4),[/mm] der linear
> unabhängig zu den bisher gewählten ist.
> Ich brauche immer so viele Vektoren aus einem kern, wie
> der Rang dessen Matrix ist, also brauche ich noch einen aus
> [mm](A-I_4),[/mm] der linea runabhängig zu den Restlichen ist.
> Dann schreibe ich sie in der Reihenfolge des auffindens in
> meine Matrix S.
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt so.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 Do 18.09.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Super, danke!
|
|
|
|
