Jordanblöcke < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Fr 09.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle möglichen Jordanblöcke einer Matrix A mit [mm] \chi_A=T^3(T-1)^4 [/mm] und [mm] \mu_A=T^2(T-1)^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
die Matrix besteht aus 2 Blöcken: 3x3 mit einer 0-Diagonalen und 4x4 mit einer 1-Diagonalen
[mm] \pmat{0&x&0&0&0&0&0\\0&0&x&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&x&0&0\\0&0&0&0&1&x&0\\0&0&0&0&0&1&x\\0&0&0&0&0&0&1} [/mm]
Die Sternchen sind 0 oder 1.
Da die Vielfachheit der Nullstelle im Minimalpolynom für den EW 0 = 2 ist, ist der verallgemeinerte Eigenraum mit Potenz 2, also [mm] V(0)=Kern((A-0I_3)^2=0 [/mm] und das wird nur 0 wenn beide Sternchen im 3x3-Block 1 sind.
Ist diese Überlegung richtig ?
Danke, Susanne.
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Hallo SusanneK,
> Bestimmen Sie alle möglichen Jordanblöcke einer Matrix A
> mit [mm]\chi_A=T^3(T-1)^4[/mm] und [mm]\mu_A=T^2(T-1)^2[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> die Matrix besteht aus 2 Blöcken: 3x3 mit einer
> 0-Diagonalen und 4x4 mit einer 1-Diagonalen
>
> [mm]\pmat{0&x&0&0&0&0&0\\0&0&x&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&x&0&0\\0&0&0&0&1&x&0\\0&0&0&0&0&1&x\\0&0&0&0&0&0&1}[/mm]
> Die Sternchen sind 0 oder 1.
> Da die Vielfachheit der Nullstelle im Minimalpolynom für
> den EW 0 = 2 ist, ist der verallgemeinerte Eigenraum mit
> Potenz 2, also [mm]V(0)=Kern((A-0I_3)^2=0[/mm] und das wird nur 0
> wenn beide Sternchen im 3x3-Block 1 sind.
>
> Ist diese Überlegung richtig ?
Ich sehe das ein bischen anders. Da die Vielfachheit des Eigenwertes 0 im Minimalpolynom 2 ist, gibt es mindestens einen Jordanblock der Größe 2.
Weiterhin ist, da die Vielfachheit des Eigenwertes 0 im charakteristischen Polynoms 3 ist, auch der zweite Jordanblock zum Eigenwert 0 festgelegt.
Beim Eigenwert 1 verhält es sich ähnlich.
Vielfachheit des Eigenwertes 1 im Minimalpolynom gleich 2 => Es gibt mindestens einen Jordanblock der Größe 2 zum Eigenwert 1.
>
> Danke, Susanne.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Fr 09.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
erstmal vielen Dank für Deine Hilfe !
Ich fürchte, das habe ich noch nicht so ganz verstanden, da lag ich ja völlig daneben.
> Ich sehe das ein bischen anders. Da die Vielfachheit des
> Eigenwertes 0 im Minimalpolynom 2 ist, gibt es mindestens
> einen Jordanblock der Größe 2.
>
> Weiterhin ist, da die Vielfachheit des Eigenwertes 0 im
> charakteristischen Polynoms 3 ist, auch der zweite
> Jordanblock zum Eigenwert 0 festgelegt.
Heisst das, für den EW 0 ein Jordanblock der Grösse 2 und einen weiteren der Grösse 1. Für den EW 1 2 Jordanblöcke der Grösse 2 ?
Danke, Susanne.
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Hallo SusanneK,
> Hallo MathePower,
> erstmal vielen Dank für Deine Hilfe !
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> Ich fürchte, das habe ich noch nicht so ganz verstanden, da
> lag ich ja völlig daneben.
>
> > Ich sehe das ein bischen anders. Da die Vielfachheit des
> > Eigenwertes 0 im Minimalpolynom 2 ist, gibt es mindestens
> > einen Jordanblock der Größe 2.
> >
> > Weiterhin ist, da die Vielfachheit des Eigenwertes 0 im
> > charakteristischen Polynoms 3 ist, auch der zweite
> > Jordanblock zum Eigenwert 0 festgelegt.
>
> Heisst das, für den EW 0 ein Jordanblock der Grösse 2 und
> einen weiteren der Grösse 1. Für den EW 1 2 Jordanblöcke
> der Grösse 2 ?
Für den Eigenwert 1 gibt es mindestens einen Jordanblock der Größe 2.
Da die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 1 gleich 4 ist, gibt es hier noch zwei Möglichkeiten.
Für den Eigenwert 0 ist das hingegen schon festgelegt, da es einen Jordanblock der Größe 2 gibt.
Der Exponent im Minimalpolyom gibt hier die Länge des größten Jordanblockes zu den Eigenwerten 0 bzw. 1 an.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) JNF-Kochrezept
>
> Danke, Susanne.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Fr 09.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
nochmals vielen Dank für Deine Hilfe und den Link !!
Vielleicht habe ich es ja jetzt verstanden. Vielleicht ?
> Für den Eigenwert 1 gibt es mindestens einen Jordanblock
> der Größe 2.
>
> Da die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 1 gleich 4
> ist, gibt es hier noch zwei Möglichkeiten.
Also, 2+2, 2+1+1 und dann noch eine ?
Danke, Susanne.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Fr 09.05.2008 | | Autor: | MacMath |
Kannst du 4 auf eine andere Art in eine Summe zerlegen, die 2 als Summand besitzt? (0 als Summand macht keinen Sinn in diesem Fall, oder?)
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