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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Jordannormalform
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Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Do 09.05.2019
Autor: Tobikall

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix A = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ p & -3 }, [/mm] p∈R.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters p die zugehörige Jordansche Normalform mit passender Transformationsmatrix sowie das Minimalpolynom.

Hallo Forum,

bei der Aufgabe habe ich folgendes Problem:
Ich weiß in etwa wie man vorgehen muss um die Jordannormalform zu erlangen und habe es auch schonmal für eine andere Matrix durchgerechnet.
Hier bekomme ich allerdings beim charakteristischen Polynom [mm] t^2-9-p=0 [/mm] als EW [mm] t=+-\wurzel{9+p} [/mm] heraus und mit diesem Ergebnis weiterzurechnen ist sehr komples und wahrlich kein Spaß...

Wie kann ich in dem Fall besser vorgehen, bzw. gibt es überhaupt einen eleganteren Lösungsweg

        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Do 09.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> bei der Aufgabe habe ich folgendes Problem:
>  Ich weiß in etwa wie man vorgehen muss um die
> Jordannormalform zu erlangen und habe es auch schonmal für
> eine andere Matrix durchgerechnet.

Das tolle hier ist: In fast allen Fällen musst du gar nichts rechnen...

>  Hier bekomme ich allerdings

Wieso "allerdings"? :-)

>  beim charakteristischen
> Polynom [mm]t^2-9-p=0[/mm] als EW [mm]t=+-\wurzel{9+p}[/mm] heraus

[ok]

> und mit diesem Ergebnis weiterzurechnen ist sehr komples und wahrlich kein Spaß...

Nun denk mal scharf nach: Was weißt du über das charakteristische Polynom und Diagonalisierbarkeit?
Genauer: Für welche Werte von $p$ kommen welche Eigenwerte raus?
Was folgt in den jeweiligen Fällen für die Diagonalisierbarkeit?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Do 09.05.2019
Autor: Tobikall

Verstehe ich das richtig, dass wenn p ungleich -9 ist, zwei verschiedene Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit 1 existieren, woraus man schließen kann, dass die zugehörige Jordannormalform zwei Blöcke von der jeweiligen Größe 1x1 hat. Da dies die einzigen Eigenwerte sind, kann man die Jordannormalform aufstellen mit [mm] J=\pmat{ +\wurzel{9+p} & 0 \\ 0 & -\wurzel{9+p} }? [/mm]

Bestimme ich dann die Transformationsmatrix , indem ich die Matrix minus die Einheitsmatrix mal die Eigenwerte rechne, und schaue welche Vektoren diesen Raum aufspannen,( also wie bei der normalen Jordannormalformberechnung?)
Und ist das Minimalpolynom dann bestimmt durch [mm] (t+\wurzel{9+p})(t-\wurzel{9+p}), [/mm] da sich dies nicht weiter zerlegen lässt?

Bezug
                        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Do 09.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Verstehe ich das richtig, dass wenn p ungleich -9 ist, zwei
> verschiedene Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit 1
> existieren, woraus man schließen kann, dass die
> zugehörige Jordannormalform zwei Blöcke von der
> jeweiligen Größe 1x1 hat. Da dies die einzigen Eigenwerte
> sind, kann man die Jordannormalform aufstellen mit [mm]J=\pmat{ +\wurzel{9+p} & 0 \\ 0 & -\wurzel{9+p} }?[/mm]

Also für $p>-9$ kann man die Matrix dann so schreiben, ja. Für $p<-9$ sind die Wurzeln ja gar nicht mehr wohldefiniert.
Wenn du es allgemein für den Fall [mm] $p\not=-9$ [/mm] schreiben willst, würde ich es eher so notieren:
"Seien [mm] $t_1,t_2$ [/mm] die Nullstellen des char. Polynoms [mm] $t^2 [/mm] - (9+p)$, dann ist eine Jordanform gegeben durch  [mm]J=\pmat{ t_1 & 0 \\ 0 & t_2 }[/mm]".

> Bestimme ich dann die Transformationsmatrix , indem ich die
> Matrix minus die Einheitsmatrix mal die Eigenwerte rechne,
> und schaue welche Vektoren diesen Raum aufspannen,( also
> wie bei der normalen Jordannormalformberechnung?)

Ja, das geht auch relativ fix.

>  Und ist das Minimalpolynom dann bestimmt durch
> [mm](t+\wurzel{9+p})(t-\wurzel{9+p}),[/mm] da sich dies nicht weiter
> zerlegen lässt?

Ja.

Es bleibt also nur der Fall $p=-9$ zu untersuchen und da hast du es dann mit einer "normalen" Matrix zu tun.

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Jordannormalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Do 09.05.2019
Autor: Tobikall

Habe es jetzt soweit hinbekommen.

Eine Frage habe ich allerdings noch: Kann es sein dass für p=-9 ein Widerspruch herauskommt, also keine Jordanform zu finden ist?

Bezug
                                        
Bezug
Jordannormalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Do 09.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Eine Frage habe ich allerdings noch: Kann es sein dass für
> p=-9 ein Widerspruch herauskommt, also keine Jordanform zu
> finden ist?

Nö, die einzige Jordanform, die in Frage kommt, ist ja sowieso [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }$ [/mm] (da braucht man nicht zu rechnen)
Und: Da die Jordan-Normalform (über [mm] $\IC$) [/mm] immer existiert, solltest du auch nie einen Widerspruch erhalten.
Und die kommt beim mir nach dem Jordan-Verfahren auch raus.

Gruß,
Gono


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