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| Aufgabe | Bestimme eine Jordansche Normalform der Matrix
A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
und gib die entsprechende Transformationsmatrix B an. |
So hallo erstmal,
brauche dringend Hilfe.
Hab zu der Matrix bereits das charakteristische Polynom ausgerechnet:
[mm] (\lambda [/mm] - [mm] 1)^{2}(\lambda [/mm] - [mm] 2)^{4}
[/mm]
nun weiß ich aber nicht so richtig wies weitergehen soll und würde mich deshalb über Hilfe sehr bedanken
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Hallo lustigerhurz,
> Bestimme eine Jordansche Normalform der Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> und gib die entsprechende Transformationsmatrix B an.
> So hallo erstmal,
>
> brauche dringend Hilfe.
> Hab zu der Matrix bereits das charakteristische Polynom
> ausgerechnet:
> [mm](\lambda[/mm] - [mm]1)^{2}(\lambda[/mm] - [mm]2)^{4}[/mm]
>
> nun weiß ich aber nicht so richtig wies weitergehen soll
Berechne zunächst die Lösungen der Gleichungen:
[mm]\left(A-2*I\right)*x=0[/mm]
bzw.
[mm]\left(A-I\right)*y=0[/mm]
x und y sind nun die Eigenvektoren 1. Stufe zu [mm]\lambda=2[/mm] bzw. [mm]\lambda=1[/mm]
> und würde mich deshalb über Hilfe sehr bedanken
Gruß
MathePower
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> Berechne zunächst die Lösungen der Gleichungen:
>
> [mm]\left(A-2*I\right)*x=0[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\left(A-I\right)*y=0[/mm]
>
> x und y sind nun die Eigenvektoren 1. Stufe zu [mm]\lambda=2[/mm]
> bzw. [mm]\lambda=1[/mm]
Okay, hab nun die Eigenvektoren berechnet.
Ich erhalte für
[mm]\left(A-2*I\right)*x=0[/mm] [mm] x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und für
[mm]\left(A-I\right)*y=0[/mm] [mm] y=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
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Hallo lustigerhurz,
> > Berechne zunächst die Lösungen der Gleichungen:
> >
> > [mm]\left(A-2*I\right)*x=0[/mm]
> >
> > bzw.
> >
> > [mm]\left(A-I\right)*y=0[/mm]
> >
> > x und y sind nun die Eigenvektoren 1. Stufe zu [mm]\lambda=2[/mm]
> > bzw. [mm]\lambda=1[/mm]
>
> Okay, hab nun die Eigenvektoren berechnet.
> Ich erhalte für
> [mm]\left(A-2*I\right)*x=0[/mm] [mm]x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und für
> [mm]\left(A-I\right)*y=0[/mm] [mm]y=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
>
Du siehst jetzt, daß Du nur je einen Eigenvektor bekommen hast,
Der nächste Schritt. ist jetzt die Eigenvektoren 2. Stufe zu berechnen, d.h.
[mm]\left(A-2*I\right)^{2}*x_{2}=0[/mm]
[mm]\left(A-I\right)^{2}*y_{2}=0[/mm]
, wobei [mm]x_{2}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] sind nun die Eigenvektoren 2. Stufe zu [mm]\lambda=2[/mm] bzw. [mm]\lambda=1[/mm] sind.
Gruß
MathePower
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> Du siehst jetzt, daß Du nur je einen Eigenvektor bekommen
> hast,
Was sagt mir das??
> Der nächste Schritt. ist jetzt die Eigenvektoren 2. Stufe
> zu berechnen, d.h.
>
> [mm]\left(A-2*I\right)^{2}*x_{2}=0[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
wobei es 4 frei wählbare Koeffizienten gibt
>
> [mm]\left(A-I\right)^{2}*y_{2}=0[/mm]
[mm] y_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
>
> , wobei [mm]x_{2}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] sind nun die Eigenvektoren 2. Stufe
> zu [mm]\lambda=2[/mm] bzw. [mm]\lambda=1[/mm] sind.
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Hallo lustigerhurz,
> > Du siehst jetzt, daß Du nur je einen Eigenvektor bekommen
> > hast,
>
> Was sagt mir das??
Das sagt aus, daß noch weitere Vektoren gebraucht werden.
Meine Rechnungen ergeben für den Eigenwert 2 genau 2 Eigenvektoren.
>
> > Der nächste Schritt. ist jetzt die Eigenvektoren 2. Stufe
> > zu berechnen, d.h.
> >
> > [mm]\left(A-2*I\right)^{2}*x_{2}=0[/mm]
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> wobei es 4 frei wählbare Koeffizienten gibt
> >
> > [mm]\left(A-I\right)^{2}*y_{2}=0[/mm]
Ich hab da nur 3 wählbare Koeffienten.
>
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> >
> > , wobei [mm]x_{2}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] sind nun die Eigenvektoren 2. Stufe
> > zu [mm]\lambda=2[/mm] bzw. [mm]\lambda=1[/mm] sind.
>
>
Irgendwie schein es hier ein Problem beim Eigenwert 2 zu geben.
Als Lösungen von [mm]\left(A-2*I\right)*x=0[/mm] habe ich:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6}}=s*\pmat{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} +t*\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Lösungen zu [mm]\left(A-2*I\right)^{2}*x=0[/mm] sind:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6}}=u*\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} +v*\pmat{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} + w*\pmat{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Die ulmitative Lösung hierzu:
Sei [mm]T:=A-2*I[/mm]
Wähle ein [mm]x \in Kern\left(T^{3}\right), \ x \not = 0[/mm].
Bestimme dies so, daß eines der Systeme
[mm]x_{1}, Tx_{1}, T^{2}x_{1}, x_{2}[/mm]
oder
[mm]x_{1}, Tx_{1}, x_{2}, Tx_{2}[/mm]
eine Basis bilden.
Gruß
MathePower
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habe nun mal
$ [mm] \left(A-2\cdot{}I\right)^{3}\cdot{}x=0 [/mm] $ berechnet
und habe nach Gauss [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ }
[/mm]
nun komm ich nicht weiter
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Hallo lustigerhurz,
> habe nun mal
> [mm]\left(A-2\cdot{}I\right)^{3}\cdot{}x=0[/mm] berechnet
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> und habe nach Gauss [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ }[/mm]
Ich hab diese Matrix bekommen:
[mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ }[/mm]
>
> nun komm ich nicht weiter
Hier siehst Du daß, 4 Parameter frei wählbar sind. Die verbleibenden 2 Parameter sind durch [mm]x_{5}=x_{6}=0[/mm] festgelegt.
Demnach sind hier die Lösungen:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6}}=s*\pmat{1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+t*\pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} +u*\pmat{0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+v*\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}=s*e_{1}+t*e_{2}+u*e_{3}+v*e_{4}[/mm]
Sei [mm]T:=A-2I[/mm]
Dann prüfe für welche der angegebenen Vektoren eine Basis gegeben ist, durch
[mm]x_{1}, \ Tx_{1}, \ T^{2}x_{1}, \ x_{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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Ich hab mir jetzt spontan den 4. Einheitsvektor genommen
und für die Basis der JNF,
[mm] e_{4}
[/mm]
(A-2E) * [mm] e_{4}
[/mm]
[mm] (A-2E)^{2} [/mm] * [mm] e_{4}
[/mm]
[mm] (A-2E)^{3} [/mm] * [mm] e_{4} [/mm] berechnet
und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] \{\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0},\vektor{-1 \\ -1\\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\}
[/mm]
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Hallo lustigerhurz.
> Ich hab mir jetzt spontan den 4. Einheitsvektor genommen
> und für die Basis der JNF,
> [mm]e_{4}[/mm]
> (A-2E) * [mm]e_{4}[/mm]
> [mm](A-2E)^{2}[/mm] * [mm]e_{4}[/mm]
> [mm](A-2E)^{3}[/mm] * [mm]e_{4}[/mm] berechnet
>
> und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
>
> [mm]\{\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0},\vektor{-1 \\ -1\\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\}[/mm]
>
Deine Basis sieht also so aus:
[mm]e_{4}, \ Te_{4}, \ T^{2}e_{4}, \ T^{3}e_{4}[/mm]
wobei [mm]T=A-2I[/mm]
[mm]e_{4}[/mm] ist aus dem Kern[mm]\left(T^{3}\right)[/mm].
Wähle statt [mm]T^{3}e_{4}[/mm] einen der verbleibenden Einheitsvektoren.
Gruß
MathePower
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