K-linear und nicht-injektiv? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 So 23.10.2011 | | Autor: | Hugo20 |
| Aufgabe | Aufgabe
Sei K Körper und V ein K-Verktorraum der Dimension 2. Sei $ [mm] \lambda \in [/mm] $ V* eine nichttriviale Abbildung V --> K. Sei nun P:=V und G $ [mm] \subset [/mm] $ Pot P die Menge aller Teilmengen M, für die d $ [mm] \in [/mm] $ K und $ [mm] \lambda \in [/mm] $ V* \ $ [mm] \{ 0 \} [/mm] $ existieren, sodass M = $ [mm] \{ v \in V | \lambda (v) = d \}. [/mm] $
Zeige: Das Paar (P,G) ist eine affine Ebende. |
Hallo,
ich habe dieselbe Frage schon unter "Geometrie und Topologie" gestellt, habe aber soeben gemerkt, dass meine eigentliche Frage ja eher mit Algebra zu tun hat. Ich hoffe, es ist ok, dass ich die Frage deshalb hier noch einmal stelle:
Ich habe eine Frage zu dieser obigen Aufgabe. Mir ist klar, wie eine affine Ebene definiert ist. Unter anderem muss ja erfüllt sein, dass je zwei Punkte aus P genau eine Verbindungsgerade aus G haben. Starten wollte ich also, indem ich zunächst zeige: Für zwei beliebige Punkte v und w aus P gibt es genau ein M, das v und w enthält.
Mein Problem ist folgendes: Im Moment bin ich der Meinung, es geht gar nicht, dass eine solche Menge M überhaupt zwei verschiedene Punkte enthalten kann. Denn für diese beiden Punkte müsste ja dann für ein geeignetes Lambda gelten: $ [mm] \lambda [/mm] $ (v) = d und $ [mm] \lambda [/mm] $ (w) = d. Mit anderen Worten $ [mm] \lambda [/mm] $ (v) = $ [mm] \lambda [/mm] $ (w) . Somit wäre dieses Lambda nicht injektiv. Ich habe aber gedacht, K-lineare Abbildungen sind immer injektiv (außer die Nullabbildung). Meiner Meinung nach gibt es deshalb keine K-lineare Abbildung Lambda, die überhaupt in Frage kommt für die Menge M. Wo liegt der Fehler in meinem Gedankengang?
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Hallo Hugo!
> Aufgabe
> Sei K Körper und V ein K-Verktorraum der Dimension 2. Sei
> [mm]\lambda \in[/mm] V* eine nichttriviale Abbildung V --> K. Sei
> nun P:=V und G [mm]\subset[/mm] Pot P die Menge aller Teilmengen M,
> für die d [mm]\in[/mm] K und [mm]\lambda \in[/mm] V* \ [mm]\{ 0 \}[/mm] existieren,
> sodass M = [mm]\{ v \in V | \lambda (v) = d \}.[/mm]
>
> Zeige: Das Paar (P,G) ist eine affine Ebende.
> Hallo,
>
> ich habe dieselbe Frage schon unter "Geometrie und
> Topologie" gestellt, habe aber soeben gemerkt, dass meine
> eigentliche Frage ja eher mit Algebra zu tun hat. Ich
> hoffe, es ist ok, dass ich die Frage deshalb hier noch
> einmal stelle:
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> Ich habe eine Frage zu dieser obigen Aufgabe. Mir ist klar,
> wie eine affine Ebene definiert ist. Unter anderem muss ja
> erfüllt sein, dass je zwei Punkte aus P genau eine
> Verbindungsgerade aus G haben. Starten wollte ich also,
> indem ich zunächst zeige: Für zwei beliebige Punkte v und
> w aus P gibt es genau ein M, das v und w enthält.
>
> Mein Problem ist folgendes: Im Moment bin ich der Meinung,
> es geht gar nicht, dass eine solche Menge M überhaupt zwei
> verschiedene Punkte enthalten kann. Denn für diese beiden
> Punkte müsste ja dann für ein geeignetes Lambda gelten:
> [mm]\lambda[/mm] (v) = d und [mm]\lambda[/mm] (w) = d. Mit anderen Worten
> [mm]\lambda[/mm] (v) = [mm]\lambda[/mm] (w) . Somit wäre dieses Lambda
> nicht injektiv. Ich habe aber gedacht, K-lineare
> Abbildungen sind immer injektiv (außer die Nullabbildung).
Nein, sind sie nicht!
> Meiner Meinung nach gibt es deshalb keine K-lineare
> Abbildung Lambda, die überhaupt in Frage kommt für die
> Menge M. Wo liegt der Fehler in meinem Gedankengang?
Tipp: Betrachte die duale Basis einer Basis von V.
siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Duale_Basis
LG mathfunnel
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