Kegelschnitte < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:43 Di 06.09.2011 | | Autor: | nali |
| Aufgabe | | Z-Koordinate bei Kegelschnitten |
Für einen Kegel geschnitten mit einer Ebene gibt es im Netz einiges doch die resultierenden Koordinaten beschränken sich meist auf x,y. Kennt jemand vielleicht eine Quelle in der ich die Raumkoordinaten der resultierenden Objekte erhalten bleiben und nicht nur x,y.
Man führt öfter die Gleichung: (Wikipedia)
[mm]\left(d_x + u s_x + v t_x\right)^2 + \left(d_y + u s_y + v t_y\right)^2 - h \left(d_z + u s_z + v t_z\right)^2 \, = \, 0[/mm]
und überführt es in ein ebenes kartesische Koordinatensystem (ebenfalls Wikipedia):
[mm]a x^2 + 2 bx y + c y^2 + 2 d x + 2 e y + f \, = \, 0,[/mm]
PS: Ich weiß nicht ob ich komplett auf dem Holzweg bin und es aus mir noch nicht bekannten Gründen nicht möglich ist. Daher bin ich für jede Antwort dankbar.
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Hallo nali,
> Z-Koordinate bei Kegelschnitten
> Für einen Kegel geschnitten mit einer Ebene gibt es im
> Netz einiges doch die resultierenden Koordinaten
> beschränken sich meist auf x,y. Kennt jemand vielleicht
> eine Quelle in der ich die Raumkoordinaten der
> resultierenden Objekte erhalten bleiben und nicht nur x,y.
>
> Man führt öfter die Gleichung: (Wikipedia)
> [mm]\left(d_x + u s_x + v t_x\right)^2 + \left(d_y + u s_y + v t_y\right)^2 - h \left(d_z + u s_z + v t_z\right)^2 \, = \, 0[/mm]
>
> und überführt es in ein ebenes kartesische
> Koordinatensystem (ebenfalls Wikipedia):
> [mm]a x^2 + 2 bx y + c y^2 + 2 d x + 2 e y + f \, = \, 0,[/mm]
Das tut man einfach aus praktischen Gründen, weil es eben leichter ist, in zwei Dimensionen zu arbeiten.
Ansonsten ist die einfachste Angabe des Kegelschnitts im Raum normalerweise tatsächlich die Angabe des Kegels (z.B. [mm] x^2+y^2=z^2) [/mm] und der Schnittebene (z.B. x+3z=2).
Je nachdem, was Du dann damit anfangen willst (im Beispiel: eine Ellipse), kannst Du ggf. auch eine Parameterdarstellung wählen.
> PS: Ich weiß nicht ob ich komplett auf dem Holzweg bin
> und es aus mir noch nicht bekannten Gründen nicht möglich
> ist. Daher bin ich für jede Antwort dankbar.
Und ich weiß nicht, auf welchem Weg Du überhaupt gerade bist. Vielleicht wäre es einfacher, Du würdest statt des Weges mal das Ziel angeben, dann können wir ja sehen, welche Wege dahin führen. Mit anderen Worten: was willst Du eigentlich gerade tun? Warum stört die Koordinatentransformation auf zwei Koordinaten?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Di 06.09.2011 | | Autor: | nali |
Danke für deinen Tipp.
Ich möchte eine 2D Ellipse im Raum lagern. In Parameterform wäre so etwas möglich.
[mm]
\omega (t)=
\begin{bmatrix}
\cos t + \sin t \\
2\cos t - \sin t \\
2\cos t +0.5 \sin t
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{bmatrix}
[/mm]
Allerdings möchte ich es in Koordinatenform angeben. Gibt es ein Standardverfahren um die Hauptachsen aus einer Paramterform herauszurechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Di 06.09.2011 | | Autor: | nali |
Das mit den Hauptachsen hat sich erledigt
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Hallo nali,
> Danke für deinen Tipp.
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> Ich möchte eine 2D Ellipse im Raum lagern. In
> Parameterform wäre so etwas möglich.
>
> [mm]
\omega (t)=
\begin{bmatrix}
\cos t + \sin t \\
2\cos t - \sin t \\
2\cos t +0.5 \sin t
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{bmatrix}
[/mm]
>
> Allerdings möchte ich es in Koordinatenform angeben. Gibt
> es ein Standardverfahren um die Hauptachsen aus einer
> Paramterform herauszurechnen?
Sicher meinst Du die Hauptachsenlängen.
Um von der Parameterform zur Koordinatenform zu kommen,
schreibe die obige Gleichung zunächst so:
[mm]w\left(t\right)=\overrightarrow{e_{1}}*\cos\left(t\right)+\overrightarrow{e_{2}}*\sin\left(t\right)+\pmat{x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}}[/mm]
Forme dann dies etwas um:
[mm]w\left(t\right)-\pmat{x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}}=\overrightarrow{e_{1}}*\cos\left(t\right)+\overrightarrow{e_{2}}*\sin\left(t\right)[/mm]
Dann kannst Du skalar mit [mm]\overrightarrow{e_{1}}[/mm] bzw. [mm]\overrightarrow{e_{2}}[/mm] multiplizieren.
Die erhaltenen Gleichungen dann durch den Faktor vor
[mm]\cos\left(t\right)[/mm] bzw. [mm]\sin\left(t\right)[/mm] teilen und
anschliessend quadrieren und addieren.
Gruss
MathePower
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> Ich möchte eine 2D Ellipse im Raum lagern. In
> Parameterform wäre so etwas möglich.
>
> [mm]
\omega (t)=
\begin{bmatrix}
\cos t + \sin t \\
2\cos t - \sin t \\
2\cos t +0.5 \sin t
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{bmatrix}
[/mm]
>
> Allerdings möchte ich es in Koordinatenform angeben.
MathePower hat schon aufgezeigt, wie man daraus eine
geschlossene Koordinatengleichung erzeugen kann,
welche genau für die Ellipsenpunkte erfüllt ist.
Ich bun aber nicht so sicher, ob du mit der entstehenden
Gleichung so glücklich sein wirst ...
Dazu ein Beispiel einer Geradengleichung: Die Gerade
durch A(1|2|3) und B(3|1|4) kann man z.B. durch die
Parametergleichung
[mm] $\pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\2\\3}+t*\pmat{2\\-1\\1}$
[/mm]
darstellen. Als Koordinatengleichung erhält man z.B. die
folgende Gleichung:
$\ [mm] x^2+4*x*y-10*x+5*y^2+2*y*z-30*y+z^2-10*z+50\ [/mm] =\ 0$
Diese ist erheblich unhandlicher als die Parametergleichung.
LG Al-Chw.
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