Kern, Bild, Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Sa 10.02.2007 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Sei [mm] V:=\IR^4, W:=\IR^3 [/mm] und eine lineare Abbildung [mm] L:V \to W [/mm] gegeben durch
[mm] L(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}):= \pmat{ 2x_1 + x_2 -6x_3 -x_4 \\ 3x_1 +9x_2 +6x_3 +6x_4 \\ x_1 + 2x_2 +x_4 }.
[/mm]
Bestimmen Sie ker(L) sowie Basen von ker(L) und im(L). |
Hallo!
Mir ist klar, das ker(L):={v [mm] \in [/mm] V| L(v)=0}, also kann ich doch das Gleichungssystem wie folgt lösen:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & -6 & -1 & |0 \\ 3 & 9 & 6 & 6 & |0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & |0 } \to \to \pmat{ 2 & 1 & -6 & -1 & |0 \\ 0 & -1 & -2 & -1 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_4 [/mm] = [mm] \alpha, x_3 [/mm] = [mm] \beta, x_2 [/mm] = [mm] -\alpha [/mm] -2 [mm] \beta, x_1 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + 4 [mm] \beta.
[/mm]
Damit ist doch ker(L) = [mm] (\vektor{\alpha + 4 \beta \\ -\alpha -2 \beta \\ \beta \\ \alpha}), [/mm] oder?
Also muss doch auch [mm] {(\vektor{\alpha + 4 \beta \\ -\alpha -2 \beta \\ \beta \\ \alpha})} [/mm] eine Basis von ker(L) sein.
Zur Basis von im(L):
Setzt man [mm] w_1 [/mm] := [mm] (\vektor{2 \\ 3 \\ 1}), w_2 [/mm] := [mm] (\vektor{1 \\ 9 \\ 2}), w_3 [/mm] := [mm] (\vektor{-6 \\ 6 \\ 0}) [/mm] und [mm] w_4 [/mm] := [mm] (\vektor{-1 \\ 6 \\ 1}), [/mm]
dann stellt man fest, dass [mm] w_4 [/mm] = [mm] w_2 [/mm] - [mm] w_1.
[/mm]
Die Vektoren [mm] w_1, w_2 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] sind linear unabhängig. Also muss doch [mm] {(w_1, w_2, w_3 )} [/mm] eine Basis von im(L) sein, oder?
Danke fürs Nachrechnen!
xsara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 10.02.2007 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Basen [mm] B:={v_1, v_2, v_3, v_4} [/mm] von V und [mm] C:={w_1, w_2, w_3} [/mm] von W, wobei
[mm] v_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, v_2:=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, v_3:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, v_4:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, w_1:=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, w_2:=\vektor{3 \\ 1 \\ 0}, w_3:=\vektor{0 \\ 0 \\ 5}.
[/mm]
Geben Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildung L bezüglich der Basen B und C an. |
Hallo!
Auch nach mehrmaligem Durchsehen meiner Unterlagen, ist mir noch immer unklar, was die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist.
Kann mir da jemand weiter helfen?
Vielen Dank für eure Mühe!
xsara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Sa 10.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also, du suchst also die Matrix dieser linearen Abbildung. Das bedeutet, das wenn du dann einen Vektor aus dem [mm] \IR^{4} [/mm] mit der Matrix multiplizierst du einen Vektor aus dem [mm] \IR^{3} [/mm] bekommst. Du hast auch schon deine Abbildungsvorschrift gegeben in deiner ersten Frage.
Nun nimmst du also deinen ersten Vektor [mm] v_{1} [/mm] her und setzt ihn in die Abbildungsvorschrift ein. Dann bekommst du einen neuen Vektor, nämlich das zugehörige Bild des ersten Basisvektors aus V in W. Wie du weißt, kann man wenn man das Bild der Basisvektoren kennt, jeden anderen Vektor dadurch erzeugen. Um nun die erste Spalte deiner gesuchten Abbildungsmatrix zu bekommen, nimmst du nun diesen ersten gerade erzeugten Vektor also das Bild deines ersten Basisvektors aus V und suchst diejenige Linearkombination der Basisvektoren aus W, die den berechneten Vektor erzeugen. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist die erste Spalte deiner gesuchten Abbildungsmatrix. Und so machst du es auch mit den drei anderen Vektoren.
Ich rechne es dir anhand des ersten Vektors mal vor den Rest schaffst du sicherlich alleine.
Also.
Man nimmt den ersten Basisvektor [mm] v_{1} [/mm] her und setzt ihn in die Abbildungsvorschrift ein.
[mm] L(v_{1})=L(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 })=\pmat{ 2 \\ 3 \\ 1 }
[/mm]
Nun suchst du die Linearkombination der Basisvektoren aus W die den Vektor erzeugen.
[mm] a\pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }+b\pmat{ 3 \\ 1 \\ 0 }+c\pmat{ 0 \\ 0 \\ 5 }=\pmat{ 2 \\ 3 \\ 1 }
[/mm]
Matrix aufstellen und lösen.
Als Lösung bekommt man, ich nenn den Vektor mal [mm] d_{1} [/mm] für Darstellungsmatrix, [mm] d_{1}= \pmat{ 1,4 \\ 0,2 \\ 0,2 }
[/mm]
Dies ist der erste Spaltenvektor deiner gesuchten Darstellungsmatrix. Genauso machst du es mit den anderen drei Vektoren.
Ich hoffe es ist nun klarer geworden.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Sa 10.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also die ersten beiden Fragen hast du richtig beantwortet. Um den Kern zu berechnen, schreibst du die Vektoren in eine Matrix bringst die Matrix auf Zeilenstufenform und löst das zugehörige homogene Gleichungssystem. Da du hier Freiheitsgrade hast, hast du sozusagen eine Linearkombination aus zwei Vektoren für die Lösung und den kern der Abbildung. Die Basis des Kerns besteht dann gezwungenermaßen genau aus diesen beiden Vektoren oder aus dieser Linearkombination. Stimmt also alles.
Wenn du mit im(L) den Spaltenraum der Matrix meinst also das Bild der Abbildung, dann hast du dich vertan. Deine Idee ist aber richtig. Du schreibst die Vektoren in eine Matrix, bringst die Matrix auf Zeilenstufenform und liest die linear unabhängigen Spaltenvektoren ab. Diese sind die Basis des Spaltenraums. Du hättest die Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform bringen müssen, dann hättest du sofort gesehen das nur der dritte und der vierte Vektor linear abhängig sind, sonst hättest du doch auch am Anfang nicht zwei Freiheitsgrade gehabt sondern nur einen. Und auch die Regel Zeilenrang=Spaltenrang muss dir sagen, dass es nur zwei linear unabhängige Vektoren sein können, denn der Zeilenrang ist 2, also auch der Spaltenrang. Nur welche Vektoren genau die linear unabhängigen sind, sieht man erst richtig wenn man die reduzierte Zeilenstufenform da stehen hat.
So, ich hoffe dies war nun genug Erklärung und Erläuterung.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Sa 10.02.2007 | | Autor: | xsara |
Lieber clwoe,
vielen Dank für deine Hilfe. Hat mir echt weitergeholfen!
LG
xsara
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Hallo
vielleicht noch eine kleine Anmerkung zur Schreibweise bei Aufgabe 1) zur Basis der Kernes von f.
Also du hast berechnet, dass ker(f) erzeugt wird von [mm] \{\vektor{\alpha + 4 \beta \\ -\alpha -2 \beta \\ \beta \\ \alpha}\}
[/mm]
Das kann man etwas anders schreiben
[mm] \vektor{\alpha + 4 \beta \\ -\alpha -2 \beta \\ \beta \\ \alpha}=\vektor{\alpha \\ -\alpha \\ 0 \\ \alpha}+\vektor{ 4 \beta \\ -2 \beta \\ \beta \\ 0}=\alpha*\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}+\beta*\vektor{ 4 \\ -2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Also ist [mm] \{\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 1},\vektor{ 4 \\ -2 \\ 1 \\ 0}\} [/mm] eine Basis von ker(f)
Gruß
schachuzipus
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