Kettenregel, 2 Parameter < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Do 13.09.2012 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | [mm] z=f(x;y)=e^{x}*cos(x-y)
[/mm]
mit [mm] x=x(u;v)=u+v^{2}
[/mm]
und [mm] y=y(u;v)=u-v^{2}
[/mm]
gesucht sind die partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\partial z}{\partial u} [/mm] und [mm] \bruch{\partial z}{\partial v} [/mm] |
Ich bekomme für [mm] \bruch{\partial z}{\partial v} [/mm] ein falsches Ergebnis und verstehe leider nicht warum.
Rechenweg:
[mm] z=f(x;y)=e^{x}*cos(x-y)=e^{x}*cos(w)
[/mm]
w=x-y
[mm] \bruch{dw}{dx}=1
[/mm]
[mm] \bruch{dw}{dy}=-1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial z}{\partial x}=\bruch{\partial z}{\partial w}*\bruch{\partial w}{\partial x}=e^{x}*cos(w)+(-sin(w))*e^{x}*1=e^{x}*(cos(x-y)-sin(x-y))
[/mm]
[mm] \bruch{\partial z}{\partial y}=\bruch{\partial z}{\partial w}*\bruch{\partial w}{\partial y}=e^{x}*cos(w)+(-sin(w))*e^{x}*(-1)=e^{x}*(sin(x-y)-cos(x-y))
[/mm]
Die Lösung soll sein: [mm] \bruch{\partial z}{\partial y}=e^{x}*sin(x-y)
[/mm]
Was mache ich falsch? Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]z=f(x;y)=e^{x}*cos(x-y)[/mm]
>
> mit [mm]x=x(u;v)=u+v^{2}[/mm]
> und [mm]y=y(u;v)=u-v^{2}[/mm]
>
> gesucht sind die partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\partial z}{\partial u}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial z}{\partial v}[/mm]
> Ich bekomme für
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial v}[/mm] ein falsches Ergebnis und
> verstehe leider nicht warum.
>
> Rechenweg:
>
> [mm]z=f(x;y)=e^{x}*cos(x-y)=e^{x}*cos(w)[/mm]
>
> w=x-y
Wozu ?????
Was Du da treibst (und auch unten) ist mir schleierhaft !
Es ist doch [mm] z(u,v)=f(u+v^2,u-v^2)= e^{u+v^2}*cos(2v^2)
[/mm]
Jetzt kannst Du doch die Ableitungen $ [mm] \bruch{\partial z}{\partial u} [/mm] $ und $ [mm] \bruch{\partial z}{\partial v} [/mm] $ locker bestimmen.
FRED
> [mm]\bruch{dw}{dx}=1[/mm]
> [mm]\bruch{dw}{dy}=-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}=\bruch{\partial z}{\partial w}*\bruch{\partial w}{\partial x}=e^{x}*cos(w)+(-sin(w))*e^{x}*1=e^{x}*(cos(x-y)-sin(x-y))[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}=\bruch{\partial z}{\partial w}*\bruch{\partial w}{\partial y}=e^{x}*cos(w)+(-sin(w))*e^{x}*(-1)=e^{x}*(sin(x-y)-cos(x-y))[/mm]
>
> Die Lösung soll sein: [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}=e^{x}*sin(x-y)[/mm]
>
> Was mache ich falsch? Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Do 13.09.2012 | | Autor: | hennes82 |
Das soll der Übung dienen. Ich kann ja entweder erst die Parameter einsetzen und dann differenzieren oder erst differenzieren und dann einsetzen.
Es muss ja das gleiche herauskommen.
Bei mir tut es das aber eben nicht. Deshalb würde ich gern meinen Fehler erkennen.
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Hallo hennes,
auch dann ist es nicht zielführend mit $ w = x-y $ zu substituieren.
Bilde stattdessen die partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\partial z}{\partial x}, \bruch{\partial z}{\partial y}, \bruch{\partial x}{\partial u}, \bruch{\partial x}{\partial v}, \bruch{\partial y}{\partial u} [/mm] sowie [mm] \bruch{\partial y}{\partial v} [/mm] und rechne mit diesen weiter.
Beachte die Rechenregeln zum ![[]](/images/popup.gif) vollständigen Differential, dann erhälst du auch über diesen "Umweg" das richtige Ergebnis...
Grüße
fz
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