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Klausur LA1 1.1: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:17 Sa 24.03.2007
Autor: Zerwas

Aufgabe
Seien f,g Endomorphismen eines endlich Dimensionalen K-Vektorraums V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a) f ist injektiv => f ist surjektiv
(b) f ist injektiv => $ [mm] f^2 [/mm] ist injektiv
(c) f & g sind inj => f+g ist injektiv

(a) stimmt, da f: [mm] V\to [/mm] V ergibt sich aus der Tatsache, dass jedem Element ein eindeutiges Anderes zugewiesen wird, dass auch ganz V "getroffen wird
(b) stimmt
(c) stimmt

Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt auf die Sprünge hefen könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Klausur LA1 1.1: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 09:23 Sa 24.03.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> Seien f,g Endomorphismen eines endlich Dimensionalen
> K-Vektorraums V. Welche der folgenden Aussagen sind
> richtig?
>  (a) f ist injektiv => f ist surjektiv

>  (b) f ist injektiv => $ [mm]f^2[/mm] ist injektiv

>  (c) f & g sind inj => f+g ist injektiv

>  (a) stimmt, da f: [mm]V\to[/mm] V ergibt sich aus der Tatsache,
> dass jedem Element ein eindeutiges Anderes zugewiesen wird,
> dass auch ganz V "getroffen wird

Nein: Injektiv heisst ja, dass jedes Element aus V auch getroffen wird.
Beispiel:

[mm] f:\IR\to\IR x\mapsto{x²} [/mm] ist injektiv, aber nicht surjektiv

Ausserdem würde dann die Bijektivität keinen Sinn ergeben, wenn eine Injektive Funktion auch eine surjektive wäre.

>  (b) stimmt
>  (c) stimmt
>

Das dürfte richtig sein

> Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen
> könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den
> Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt
> auf die Sprünge hefen könnte.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Marius
Bezug
                
Bezug
Klausur LA1 1.1: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 11:44 Sa 24.03.2007
Autor: Marc

Hallo Marius,

> > Seien f,g Endomorphismen eines endlich Dimensionalen
> > K-Vektorraums V. Welche der folgenden Aussagen sind
> > richtig?
>  >  (a) f ist injektiv => f ist surjektiv

>  >  (b) f ist injektiv => $ [mm]f^2[/mm] ist injektiv

>  >  (c) f & g sind inj => f+g ist injektiv

>  >  (a) stimmt, da f: [mm]V\to[/mm] V ergibt sich aus der Tatsache,
> > dass jedem Element ein eindeutiges Anderes zugewiesen wird,
> > dass auch ganz V "getroffen wird
>  
> Nein: Injektiv heisst ja, dass jedes Element aus V auch
> getroffen wird.
>  Beispiel:
>  
> [mm]f:\IR\to\IR x\mapsto{x²}[/mm] ist injektiv, aber nicht
> surjektiv
>  
> Ausserdem würde dann die Bijektivität keinen Sinn ergeben,
> wenn eine Injektive Funktion auch eine surjektive wäre.

[notok], siehe meine Antwort :-)
  
> >  (b) stimmt

>  >  (c) stimmt
> >
>
> Das dürfte richtig sein

(c) stimmt meiner Meinung nach auch nicht, siehe Gegenbeispiel in meiner Antwort.

Viele Grüße,
Marc
Bezug
        
Bezug
Klausur LA1 1.1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 Sa 24.03.2007
Autor: Marc

Hallo Zerwas!

> Seien f,g Endomorphismen eines endlich Dimensionalen
> K-Vektorraums V. Welche der folgenden Aussagen sind
> richtig?
>  (a) f ist injektiv => f ist surjektiv

>  (b) f ist injektiv => $ [mm]f^2[/mm] ist injektiv

>  (c) f & g sind inj => f+g ist injektiv

>  (a) stimmt, da f: [mm]V\to[/mm] V ergibt sich aus der Tatsache,
> dass jedem Element ein eindeutiges Anderes zugewiesen wird,
> dass auch ganz V "getroffen wird

Die Begründung ist zwar nicht gut, aber die Aussage stimmt. Sie ergibt sich z.B. aus der Dimensionsformel.
[mm] $\dim [/mm] V= [mm] \dim \operatorname{Bild}(f) [/mm] + [mm] \dim \operatorname{Kern}(f)$ [/mm]
und da f injektiv ist, ist [mm] $\operatorname{Kern}(f)=\{0\}$ [/mm]

Diese Äquivalenz von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität gilt natürlich nur bei endlichen Endomorphismen, also bei linearen Abbildungen [mm] $V\to [/mm] V$ mit [mm] $\dim V<\infty$ [/mm]

>  (b) stimmt

[ok]

>  (c) stimmt

[notok]
z.B. f=id und g=-id

Viele Grüße,
Marc
Bezug
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