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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 So 29.10.2006 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Sei $M = [mm] \{a + b\wurzel{3}|a,b \in \IQ\}$
[/mm]
Beweisen oder widerlegen Sie, dass $M$ mit der Addition und der Multiplikation reeller Zahlen einen Körper bildet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe mir überlegt folgende Dinge zu untersuchen:
(i) M ist eine abelsche Gruppe
m1 * m2 = m2 * m1
a * [mm] b\wurzel{3} [/mm] = [mm] b\wurzel{3} [/mm] * a
Aber das ist doch kein Beweis, oder?
Habe auch versucht es für versch. Werte zu widerlegen, aber die
Gleichung war immer erfüllt.
(ii) neutrales Element 1
1 [mm] \not= [/mm] 0
setze ich jetzt a und b gleich Null bzw. 1 erhalte ich bei 0 0 als
Ergebniss und bei 1 2,,414... also müsste dies ja auch erfüllt sein
(iii) Distributivgesetze
wenn a * b = 0 ist a oder b gleich Null.
Wenn ich a oder b Null setze erhalte ich auch Null.
Das waren jetzt meine Überlegungen. Habe aber das Gefühl es ist nicht so ganz richtig...
Danke für euzre Hilfe! Yvonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 So 29.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Yvonne!
Nachdem du die abgeschlossenheit der Menge bzgl. der Operationen geprüft hast:
Abgeschlossenheit: (ich glaube das ist das was im Script mit Wohldefiniertheit bezeichnet wird)
[mm] \forall a,b\in [/mm] M [mm] a+b\in [/mm] M und
[mm] \forall a,b\in [/mm] M [mm] a*b\in [/mm] M
hast du die Körperaxiome für die Menge nachzuweisen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> ich habe mir überlegt folgende Dinge zu untersuchen:
> (i) M ist eine abelsche Gruppe
> m1 * m2 = m2 * m1
> a * [mm]b\wurzel{3}[/mm] = [mm]b\wurzel{3}[/mm] * a
> Aber das ist doch kein Beweis, oder?
Hier kannst du die Körperaxiome von [mm] \IR [/mm] ausnutzen, und mit dem jeweiligen Körperaxiom von [mm] \IR [/mm] begründen warum das genau so ist und nicht anders.
> (ii) neutrales Element 1
> 1 [mm]\not=[/mm] 0
> setze ich jetzt a und b gleich Null bzw. 1 erhalte
> ich bei 0 0 als
> Ergebniss und bei 1 2,,414... also müsste dies ja
> auch erfüllt sein
nur mußt du dies explizit zeigen:
bzgl +:
annahme es existiert ein neutrales Element mit der Eigenschaft a+e=a [mm] \forall a\in [/mm] M. [mm] e:=(0+0\wurzel{3})\in [/mm] M leistet dies:
[mm] a+e=(a_1+a_2\wurzel{3})+(0+0\wurzel{3})\stackrel{R1,R2}{=}(a_1+0+a_2\wurzel{3}*+0\wurzel{3})\stackrel{R3}{=}a_1+a_2\wurzel{3}
[/mm]
bzgl * analog
> (iii) Distributivgesetze
> wenn a * b = 0 ist a oder b gleich Null.
> Wenn ich a oder b Null setze erhalte ich auch Null.
Du hast doch zu zeigen:
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] M:
a*(b+c)=a*b+a*c
gilt das für alle [mm] a,b,c\in [/mm] M??
ähnlich funktioniert das mit den anderen Axiomen.
MfG
Sashman
PS
hast du mit Absicht die Aufgabe abgewandelt?? 
wollte eigentlich das das pdf File zu sehen ist (da wo Körperaxiome.pdf steht) mußt hal in den Anhang klicken und das pdf klicken da sind die Körperaxiome nochmal aufgelistet.
nochmals Grüße Sashman
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 So 29.10.2006 | | Autor: | diego |
Hallo,
erstmal danke für deine hilfe... bin total im Streß mit den blöden aufgaben. Hatte die letzten Tage keine Zeit, da mein Mann und ich geburtstag hatten und unser kleiner noch nicht durchschläft - schrecklich!
Bin bis jetzt nur zu Aufgabe 2.3 richtig gekommen - bis auf eins, da hab ich mich entschieden das muss eine Knobelaufgabe sein... Weil ich kombiniere jetzt mal jedem mit jedem und hoffe dass irgendwann eine lösung dasteht.
Naja, auf alle Fälle dachte ich bis vorhin, dass schff ich alles heute abend, aber irgendwie wird das von Stunde zu Stunde mehr...
So, das musste ich jetzt los werden.
Und die Umstellung war nicht mit absicht unser DSL funktioniert im moment nur phasenweise und wenn ich dann ins Netz kann tip ich die sachen nur so schnell wie möglich runter.
Hoffe es funkrioniert heute abend noch ein paar mal...
Gruß Yvonne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 So 29.10.2006 | | Autor: | Sashman |
> Hallo,
>
> erstmal danke für deine hilfe... bin total im Streß mit den
> blöden aufgaben. Hatte die letzten Tage keine Zeit, da mein
> Mann und ich geburtstag hatten und unser kleiner noch nicht
> durchschläft - schrecklich!
> Bin bis jetzt nur zu Aufgabe 2.3 richtig gekommen - bis
> auf eins, da hab ich mich entschieden das muss eine
> Knobelaufgabe sein... Weil ich kombiniere jetzt mal jedem
> mit jedem und hoffe dass irgendwann eine lösung dasteht.
Braucht du nicht. Versuch doch einfach [mm] \sigma [/mm] in die identische Abblidung durch Transpositionen zu überführen.
[mm] \sigma=\vektor{1&2&3&4&5\\5&2&1&3&4}
[/mm]
tauschen wir zunächst so, das die 1 wieder an ihrem Platz steht:
[mm] \sigma'=\vektor{1&2&3&4&5\\1&2&5&3&4}
[/mm]
so wie sieht nun die dazugehörige Transposition aus?? Nun es ist genau jene die das 1. und 3. Element vertauscht. Also :
[mm] \sigma_1=\vektor{1&2&3&4&5\\3&2&1&4&5}
[/mm]
die zwei ist auf ihrem Platz also kümmern wir uns um die 3 wir benützen hier logischerweise [mm] \sigma'
[/mm]
[mm] \sigma''=\vektor{1&2&3&4&5\\1&2&3&5&4}
[/mm]
die Transposition ist dann klaro:
[mm] \sigma_2=\vektor{1&2&3&4&5\\1&2&4&3&5}
[/mm]
die die nur das 3. und vierte Element vertauscht
bleibt noch die 4 also
[mm] \sigma'''=\vektor{1&2&3&4&5\\1&2&3&5&4}
[/mm]
und somit
[mm] \sigma_3=\vektor{1&2&3&4&5\\1&2&3&5&4}
[/mm]
gut nun hast du schon mal die drei Transpositionen die [mm] \sigma [/mm] "erzeugen"
Und durch Probe kannst du zeigen das:
[mm] \sigma=\sigma_3\circ\sigma_2\circ\sigma_1
[/mm]
Bei [mm] \tau [/mm] dann analog. Nur hast du hier vier Transpositionen.
Sollte bei deinen Nachrechnungen [mm] \tau [/mm] nicht herauskommen vertausche einfach die [mm] \tau_i [/mm] da die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] nicht Kommutativ ist kann da was anderes rauskommen.
2-4 erschlägst du einfach wie bei den zugehörigen Aufgaben im Script.
Alle Klarheiten beseitigt??
Bis denne Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 So 29.10.2006 | | Autor: | diego |
Vielen, vielen Dank! Ich hätte gar nicht auf die Lösung kommen können!
Ich habe versucht r durch o darzustellen...
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