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| Aufgabe | Sei (K,+, ·) ein Körper. Auf eK := K ×K seien Addition und Multiplikation definiert, wie folgt:
[mm] \oplus [/mm] : eK × eK → eK, ((a, b), (c, d)) 7→ (a + c, b + d)
[mm] \odot [/mm] : eK × eK → eK, ((a, b), (c, d)) 7→ (ac − bd, ad + bc)
Beweisen Sie, dass ( [mm] eK,\oplus ,\odot [/mm] ) ein Körper ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich hab Probbleme bei oben stehender Aufgabe, wäre super, wenn Ihr mir helfen könntet!
Ich bekomme keinen richtigen Ansatz hin, da ich momentan bei Ana gar nichts mehr verstehe!
Mein Ansatz wäre die EIgenschaften eines Körpers zu prüfen und damit zu beweisen, dass es sich um einen Körper handelt.
Aber wie ist dies zu machen??
Wenn mir jemand helfen kann, dann bitte ausführliche Erklärungen, Antworten, da ich sonst nichts auf die Reihe bringe! Brauch möglichst ausführliche und weiterführende Hilfe!
Danke
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> Sei (K,+, ·) ein Körper. Auf eK := K ×K seien Addition und
> Multiplikation definiert, wie folgt:
>
> [mm]\oplus[/mm] : eK × eK → eK, ((a, b), (c, d)) 7→ (a +
> c, b + d)
> [mm]\odot[/mm] : eK × eK → eK, ((a, b), (c, d)) 7→ (ac
> − bd, ad + bc)
> Mein Ansatz wäre die EIgenschaften eines Körpers zu prüfen
> und damit zu beweisen, dass es sich um einen Körper
> handelt.
>
> Aber wie ist dies zu machen??
Hallo,
ja, Du mußt die Körperaxiome für eK überprüfen.
Exemplarisch zur Assoziativität:
Hier ist zu zeigen, daß für alle [mm] x,y,z\in [/mm] eK gilt [mm] (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplusz).
[/mm]
Eine typische Schwierigkeit wäre jetzt, daß Du dastehst und nicht weißt, was Du für x,y,z nehmen mußt.
Deshalb überlegen wir jetzt erstmal, was mit für alle [mm] x,y,z\in [/mm] eK gemeint ist: für "beliebige drei Elemente".
Als nächstes muß man darüber nachdenken, wie die Elemente von von eK aussehen: eK=K x K, also sind das Paare von Elementen aus K.
Und jetzt sind wir so weit, daß mit dem Beweis begonnen werden kann.
Es seien [mm] x:=(x_1, x_2), y:=(y_1, y_2), z:=(z_1, z_2) [/mm] drei Elemente aus eK.
Es ist
[mm] (x\oplus y)\opls [/mm] z [mm] =((x_1, x_2)\oplus (y_1, y_2))\oplus (z_1, z_2) [/mm]
Nun muß man die oben definierte Verknüpfung verwenden. Wie geht die?Jeweils erste und zweite Komponente mit der in K definierten Addition + addieren)
= [mm] (x_1+y_1, x_2+y_2) \oplus (z_1, z_2)
[/mm]
(Hier hat man wieder zwei Paare, die addiert werden, also)
[mm] =((x_1+y_1)+z_1, (x_2+y_2)+z_2) [/mm]
(In beiden Komponenten werdne Elemente aus dem Körper K addiert. Die Addition ist, weil K nach Voraussetzung ein Körper ist, assoziativ, also.)
[mm] =(x_1+(y_1+z_1), x_2+(y_2+z_2) [/mm] ) (wg. Assoziativgesetz in K)
[mm] =(x_1,x_2)\oplus (y_1+z_1, y_2+z_2 [/mm] ) (nach Def. von [mm] \oplus)
[/mm]
= [mm] (x_1,x_2)\oplus [/mm] ( [mm] (y_1, y_2)\oplus (z_1, z_2) [/mm] ) (nach Def. von [mm] \oplus)
[/mm]
[mm] =x\oplus(y\oplus [/mm] z)
Lies dies nicht nur durch, sondern vollziehe es vom Anfang bis zum Ende schreibend und denkend nach.
Kurz noch zum neutralen Element von eK. Du mußt herausfinden, ob es ein Element [mm] (n_1, n_2) [/mm] gibt so, daß für alle (a,b) [mm] \in [/mm] eK gilt
[mm] (n_1, n_2)\oplus (a,b)=(a,b)\oplus (n_1, n_2)= [/mm] (a,b).
Wenn Du's gefunden hast, zeigst Du, daß es alles tut, was es soll.
So, ich meine jetzt kannst Du mal loslegen.
gruß v. Angela
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