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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Do 08.12.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | ist K={a+b [mm] \wurzel2 [/mm] } zusammen mit der Addition und der Multiplikation von IR ein Körper? [a, b [mm] \in [/mm] Q] |
Also es ist ja schonmal eine abelsche Gruppe.
Das neutrale Element der Addition (0) ist für a=b=0 in K
Das inverse Element ist -a-b [mm] \wurzel2
[/mm]
Die Assoziativität gilt ebenfalls (quasi von IR geerbt)
Kommutativität ebenfalls.
bleibt zu zeigen, dass (K \ {0}, *) abelsch ist
Auch hier gilt die assoziativität und die Kommutativität (aus IR)
Das neutale Element der Multiplikation (1) ist ebenfalls in K (muss man das noch i-wie beweisen oder ist das ,,logisch''?)
Das Inverse ist (a+b [mm] \wurzel2 )^{-1} [/mm] , dann gilt:
$ [mm] (\bruch{a}{a^2-2b^2}-\bruch{b\wurzel{2}}{a^2-2b^2})\cdot{}(a+b\wurzel{2})=1 [/mm] $
letztlich gilt auch das Distributivgesetz:
(a+b [mm] \wurzel2 [/mm] +c+d [mm] \wurzel2) [/mm] * (e +f [mm] \wurzel2 [/mm] )=... (gilt)
--> K ist Körper
ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Do 08.12.2011 | | Autor: | chrisno |
> Das neutale Element der Multiplikation (1) ist ebenfalls
> in K (muss man das noch i-wie beweisen oder ist das
> ,,logisch''?)
Zeig das mal. Ich sehe es erst einmal gar nicht. Du musst $a, b [mm] \in \IQ$ [/mm] angeben, so dass $1 = [mm] a+b\wurzel{2}$ [/mm]
Also wie lauten a und b?
Für das Inverse gilt das Gleiche. Wie lauten da a und b so dass Du zeigen kannst, dass es aus K ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Fr 09.12.2011 | | Autor: | rollroll |
a= 1- [mm] b\wurzel2 [/mm] bzw. b= (1-a) durch [mm] \wurzel2
[/mm]
Beim Inversen hatte ich's doch angegeben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> a= 1- [mm]b\wurzel2[/mm] bzw. b= (1-a) durch [mm]\wurzel2[/mm]
Das ist doch Quatsch ! a und b sollen doch rational sein !
Für $ 1 = [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] $ wähle doch einfach a=1 und b=0
FRED
> Beim Inversen hatte ich's doch angegeben...
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