Körperaxiome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | e *a = a für alle a aus K, dann gilt e = 1 |
Mit welchen Axiomen kann ich das beweisen?
LG
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> e *a = a für alle a aus K, dann gilt e = 1
> Mit welchen Axiomen kann ich das beweisen?
Hallo,
überlege, warum Du mit [mm] a^{-1} [/mm] multiplizieren kannst, tu's und ziehe Deine Schlüsse.
LG Angela
>
> LG
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Das ist ja das multipl. Inverse, was sich in dem Körper befindet. Also:
e*a = e*a* a^-1
Aber das zeigt mir doch nicht, dass e=1 ist oder?
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> Das ist ja das multipl. Inverse, was sich in dem Körper
> befindet.
Hallo,
Du wolltest sicher sagen, daß es zu jedem [mm] a\not=0 [/mm] ein multiplikatives Inverses [mm] a^{-1} [/mm] gibt.
> Also:
>
> e*a = e*a* a^-1
>
> Aber das zeigt mir doch nicht, dass e=1 ist oder?
Nö.
Das ist ja auch ziemlich falsch, was Du da treibst. Du hast sowas gemacht wie dies:
3*5=15 ==> [mm] 3*5=3*5*\bruch{1}{5}. [/mm] Absurd, oder?
Richtig hingegen wäre 3*5=15 ==> [mm] (3*5)*\bruch{1}{5}=15*\bruch{1}{5}.
[/mm]
Also?
LG Angela
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Genau das wollte ich sagen :)
Hmm ...
e* a = (e*a) * a^-1 = a * a^-1
So?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Genau das wollte ich sagen :)
>
> Hmm ...
> e* a = (e*a) * a^-1 = a * a^-1
was treibst Du da?
Nehmen wir mal an, wir sind in [mm] $\IR\,,$ [/mm] und dort finden wir so ein "komisches" $e [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Was Du oben schreibst, etwa mit [mm] $a=2\,,$ [/mm] würde dann heißen:
[mm] $$e*2=(e*2)*2^{-1}=2*2^{-1}\,.$$
[/mm]
Links steht [mm] $e*2=2\,,$ [/mm] rechts steht aber [mm] $2*2^{-1}=1\,.$ [/mm] Wenn das
so gelten würde, wäre [mm] $2=1\,.$
[/mm]
Und jetzt denke mal über Deinen Fehler nach, Du hast geschrieben:
[mm] $$e*a=(e*a)*\red{a^{-1}}$$
[/mm]
Darf man einfach mal so irgendein Element herbeizaubern?
Was Angela Dir vorgeschlagen hatte:
Ist [mm] $1=1_K$ [/mm] das neutrale multipl. Element, so gilt für (jedes)
$a [mm] \not=0=0_K$ [/mm] (die [mm] $0\,$ [/mm] ist das additiv neutrale Element):
[mm] $$1=1*1=1*(a*a^{-1})=(1*a)*a^{-1}\,.$$
[/mm]
Jetzt denk' DU mal drüber nach, wie Du nun [mm] $1*a=e*a\,$ [/mm] ausnutzen
kannst (sowas in der Art hatten wir schonmal: Nutze das aus und
"gehe das Vorgehen 'symmetrisch' zu Ende").
Bedenke dabei: Man braucht hier eigentlich nur die Existenz MIND. EINES
$a [mm] \in [/mm] K$ mit $a [mm] \not=0\,,$ [/mm] warum man so eines angeben kann: S.u.!
P.S. Wenn Du genau so vorgehen willst, wie Angela das vorschlug:
Es gelte [mm] $1*a=e*a\,.$ [/mm] Dann gilt auch (EINSETZEN), sofern $a [mm] \not=0\,$ [/mm] ist
[mm] $$(1*a)*a^{-1}=(e*a)*a^{-1}\,.$$
[/mm]
Und warum gibt es ein $a [mm] \in [/mm] K$ mit $a [mm] \not=0$? [/mm] Richtig, man kann auch
speziell [mm] $a=1\,$ [/mm] betrachten...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xxela89xx,
direkterer Weg:
Wenn e*a=a für alle [mm] $a\in [/mm] K$ gilt, gilt dies insbesondere für a=1. Also?
Viele Grüße
Tobias
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a* a ^-1 ist doch = 1, ist das damit bewiesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> a* a ^-1 ist doch = 1
Für [mm] $a\not=0$ [/mm] ja.
> ist das damit bewiesen?
Nein. Wie folgerst du $e=1$?
Ich meinte einen Ansatz, der völlig ohne Inverse auskommt.
$e*a=a$ für alle [mm] $a\in [/mm] K$ impliziert (a=1): $e*1=1$.
Da 1 neutrales Element der Multiplikation ist, gilt $e*1=e$.
Zusammengenommen haben wir $e=e*1=1$, was zu zeigen war.
Noch eine andere Argumentation:
Da * kommutativ ist, gilt $a*e=e*a=a$ für alle [mm] $a\in [/mm] K$. Somit hat e die Eigenschaft eines neutralen Elementes bezüglich *. Aus der Eindeutigkeit des neutralen Elementes bezüglich * folgt e=1.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 So 04.11.2012 | | Autor: | xxela89xx |
Dankeeeeeeeee!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Noch eine andere Argumentation:
>
> Da * kommutativ ist, gilt [mm]a*e=e*a=a[/mm] für alle [mm]a\in K[/mm]. Somit
> hat e die Eigenschaft eines neutralen Elementes bezüglich
> *. Aus der Eindeutigkeit des neutralen Elementes bezüglich
> * folgt e=1.
ich frag' mich nach dem Sinn der Aufgabe, wenn man die Eindeutigkeit
des neutralen mult. Elements schon bewiesen hat. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Mo 05.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Noch eine andere Argumentation:
> >
> > Da * kommutativ ist, gilt [mm]a*e=e*a=a[/mm] für alle [mm]a\in K[/mm]. Somit
> > hat e die Eigenschaft eines neutralen Elementes bezüglich
> > *. Aus der Eindeutigkeit des neutralen Elementes bezüglich
> > * folgt e=1.
>
> ich frag' mich nach dem Sinn der Aufgabe, wenn man die
> Eindeutigkeit
> des neutralen mult. Elements schon bewiesen hat.
Ob die Aufgabe sinnvoll ist, habe ich nicht versucht zu beurteilen. Ob die Eindeutigkeit des neutralen Elements bereits bewiesen wurde oder nicht, weiß xxela89xx sicherlich selbst am besten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > > Noch eine andere Argumentation:
> > >
> > > Da * kommutativ ist, gilt [mm]a*e=e*a=a[/mm] für alle [mm]a\in K[/mm]. Somit
> > > hat e die Eigenschaft eines neutralen Elementes bezüglich
> > > *. Aus der Eindeutigkeit des neutralen Elementes bezüglich
> > > * folgt e=1.
> >
> > ich frag' mich nach dem Sinn der Aufgabe, wenn man die
> > Eindeutigkeit
> > des neutralen mult. Elements schon bewiesen hat.
> Ob die Aufgabe sinnvoll ist, habe ich nicht versucht zu
> beurteilen. Ob die Eindeutigkeit des neutralen Elements
> bereits bewiesen wurde oder nicht, weiß xxela89xx
> sicherlich selbst am besten.
ich meinte damit, dass es wohl der Sinn der Aufgabe ist, die Eindeutigkeit
des neutralen mult. Elements zu beweisen - da sollte man das nicht
voraussetzen. (Es kann natürlich sein, dass man diese Eindeutigkeit
in Gruppen bewiesen hat und man hier "nur" überlegen soll, dass ja
$(K [mm] \setminus \{0\},*)\,$ [/mm] eine Gruppe ist...).
Gruß,
Marcel
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