Kommutativer Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Element [mm]x \in R \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm] heißt Nullteiler falls ein [mm]y \in R \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm] existiert mit xy=0. Außerdem nennen wir [mm]x\in R [/mm] invertierbar, falls es ein [mm]y\in R[/mm] mit xy=1 gibt.
a) Zeigen Sie, dass in [mm]\IZ/n\IZ[/mm], [mm]n\in \IN[/mm] jedes Element außer 0 enteder Nullteiler oder invertierbar ist.
b) Gilt die Aussage in a) aich für jeden kommutativen Ring? |
Hallo Leute,
konkret ist mir die a) schon verständlich. Wenn ich zum Beispiel [mm]\IZ/6\IZ[/mm] habe ist [mm]2*3=0[/mm], dann ist auch [mm]y \ne 0[/mm]. Mein Problem ist nur, wie ich dass am besten allgemein zeige. Und da habe ich einen Knoten im Kopf. Über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe.
Christoph
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Sa 04.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Element [mm]x \in R \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm]
> heißt Nullteiler falls ein [mm]y \in R \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm]
> existiert mit xy=0. Außerdem nennen wir [mm]x\in R[/mm]
> invertierbar, falls es ein [mm]y\in R[/mm] mit xy=1 gibt.
>
> a) Zeigen Sie, dass in [mm]\IZ/n\IZ[/mm], [mm]n\in \IN[/mm] jedes Element
> außer 0 enteder Nullteiler oder invertierbar ist.
>
> b) Gilt die Aussage in a) aich für jeden kommutativen
> Ring?
>
> Hallo Leute,
>
> konkret ist mir die a) schon verständlich. Wenn ich zum
> Beispiel [mm]\IZ/6\IZ[/mm] habe ist [mm]2*3=0[/mm], dann ist auch [mm]y \ne 0[/mm].
> Mein Problem ist nur, wie ich dass am besten allgemein
> zeige. Und da habe ich einen Knoten im Kopf. Über ein paar
> Tipps würde ich mich sehr freuen.
Was hat die Invertierbarkeit mit dem ggT zu tun? Beachte: ist $ggT(a, n) > 1$, so ist [mm] $\frac{n}{ggT(a, n)} \neq [/mm] 0$ in [mm] $\IZ/n\IZ$.
[/mm]
Und zu allg. Ringen: schau dir mal [mm] $\IZ$ [/mm] selber an. Was sind Nullteiler, was sind Einheiten?
LG Feilx
|
|
|
| |
|
> Moin!
>
> > Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Element [mm]x \in R \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm]
> > heißt Nullteiler falls ein [mm]y \in R \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm]
> > existiert mit xy=0. Außerdem nennen wir [mm]x\in R[/mm]
> > invertierbar, falls es ein [mm]y\in R[/mm] mit xy=1 gibt.
> >
> > a) Zeigen Sie, dass in [mm]\IZ/n\IZ[/mm], [mm]n\in \IN[/mm] jedes Element
> > außer 0 enteder Nullteiler oder invertierbar ist.
> >
> > b) Gilt die Aussage in a) aich für jeden kommutativen
> > Ring?
> >
> > Hallo Leute,
> >
> > konkret ist mir die a) schon verständlich. Wenn ich zum
> > Beispiel [mm]\IZ/6\IZ[/mm] habe ist [mm]2*3=0[/mm], dann ist auch [mm]y \ne 0[/mm].
> > Mein Problem ist nur, wie ich dass am besten allgemein
> > zeige. Und da habe ich einen Knoten im Kopf. Über ein paar
> > Tipps würde ich mich sehr freuen.
>
> Was hat die Invertierbarkeit mit dem ggT zu tun? Beachte:
> ist [mm]ggT(a, n) > 1[/mm], so ist [mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm] in
> [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
Das verstehe ich nicht. n ist doch kongruent mit 0 wie kann denn folgendes gelten:[mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm]?
>
> Und zu allg. Ringen: schau dir mal [mm]\IZ[/mm] selber an. Was sind
> Nullteiler, was sind Einheiten?
Soweit ich weiß gibt es in den ganzen Zahlen keine Teiler, wegen der Ringstruktur, und somit keines von beidem.
>
> LG Feilx
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:46 So 05.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Was hat die Invertierbarkeit mit dem ggT zu tun? Beachte:
> > ist [mm]ggT(a, n) > 1[/mm], so ist [mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm] in
> > [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
>
> Das verstehe ich nicht. n ist doch kongruent mit 0 wie kann
> denn folgendes gelten:[mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm]?
Na, $1 = [mm] \frac{n}{n}$ [/mm] ist doch auch [mm] $\neq [/mm] 0$ (wenn nicht gerade $n = [mm] \pm [/mm] 1$ ist).
Jetzt denk nochmal darueber nach.
> > Und zu allg. Ringen: schau dir mal [mm]\IZ[/mm] selber an. Was sind
> > Nullteiler, was sind Einheiten?
>
> Soweit ich weiß gibt es in den ganzen Zahlen keine Teiler,
Meinst du keine Nullteiler?
> wegen der Ringstruktur, und somit keines von beidem.
Es gibt sehr wohl Einheiten (zwei von der Zahl).
Aber jetzt nochmal: gibt es Nullteiler? Und was sind Einheiten?
Begruende das etwas geauer als mit "wegen der Ringstruktur".
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Moin!
>
> > > Was hat die Invertierbarkeit mit dem ggT zu tun? Beachte:
> > > ist [mm]ggT(a, n) > 1[/mm], so ist [mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm] in
> > > [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
> >
> > Das verstehe ich nicht. n ist doch kongruent mit 0 wie kann
> > denn folgendes gelten:[mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm]?
>
> Na, [mm]1 = \frac{n}{n}[/mm] ist doch auch [mm]\neq 0[/mm] (wenn nicht gerade
> [mm]n = \pm 1[/mm] ist).
>
> Jetzt denk nochmal darueber nach.
Also mein Hiwi sagte mit das, dass n kongruent mit null ist. dann würdest du doch 0 durch 0 teilen, oder wie meinst du das? Wenn ja, würde das doch gar nicht gehen.
>
> > > Und zu allg. Ringen: schau dir mal [mm]\IZ[/mm] selber an. Was sind
> > > Nullteiler, was sind Einheiten?
> >
> > Soweit ich weiß gibt es in den ganzen Zahlen keine Teiler,
>
> Meinst du keine Nullteiler?
Ja meinte ich.
>
> > wegen der Ringstruktur, und somit keines von beidem.
>
> Es gibt sehr wohl Einheiten (zwei von der Zahl).
>
> Aber jetzt nochmal: gibt es Nullteiler? Und was sind
> Einheiten?
>
> Begruende das etwas geauer als mit "wegen der
> Ringstruktur".
>
Naja, ich meinte, wenn y invers zu x ist, sodass xy=1 mit [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm] . Dies geht aber nicht, weil es im Ring kein multiplikatives inverses Element gibt.
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:03 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > > Was hat die Invertierbarkeit mit dem ggT zu tun? Beachte:
> > > > ist [mm]ggT(a, n) > 1[/mm], so ist [mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm] in
> > > > [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
> > >
> > > Das verstehe ich nicht. n ist doch kongruent mit 0 wie kann
> > > denn folgendes gelten:[mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm]?
> >
> > Na, [mm]1 = \frac{n}{n}[/mm] ist doch auch [mm]\neq 0[/mm] (wenn nicht gerade
> > [mm]n = \pm 1[/mm] ist).
> >
> > Jetzt denk nochmal darueber nach.
>
> Also mein Hiwi sagte mit das, dass n kongruent mit null
> ist. dann würdest du doch 0 durch 0 teilen, oder wie
> meinst du das? Wenn ja, würde das doch gar nicht gehen.
es geht hier um die Restklasse von [mm] $\frac{n}{n}$, [/mm] nicht darum, die Restklasse von $n$ durch die Restklasse von $n$ zu teilen.
Ein grosser, sehr wichtiger Unterschied.
> > > wegen der Ringstruktur, und somit keines von beidem.
> >
> > Es gibt sehr wohl Einheiten (zwei von der Zahl).
> >
> > Aber jetzt nochmal: gibt es Nullteiler? Und was sind
> > Einheiten?
> >
> > Begruende das etwas geauer als mit "wegen der
> > Ringstruktur".
> >
> Naja, ich meinte, wenn y invers zu x ist, sodass xy=1 mit
> [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm] . Dies geht aber nicht, weil es im Ring kein
> multiplikatives inverses Element gibt.
Und was ist dann mit $1 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1$ und $(-1) [mm] \cdot [/mm] (-1) = 1$?
Damit hast du doch zwei Einheiten: $1$ und $-1$!
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Moin,
>
> > > > > Was hat die Invertierbarkeit mit dem ggT zu tun? Beachte:
> > > > > ist [mm]ggT(a, n) > 1[/mm], so ist [mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm] in
> > > > > [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
> > > >
> > > > Das verstehe ich nicht. n ist doch kongruent mit 0 wie kann
> > > > denn folgendes gelten:[mm]\frac{n}{ggT(a, n)} \neq 0[/mm]?
> >
> >
> > > Na, [mm]1 = \frac{n}{n}[/mm] ist doch auch [mm]\neq 0[/mm] (wenn nicht gerade
> > > [mm]n = \pm 1[/mm] ist).
> > >
> > > Jetzt denk nochmal darueber nach.
> >
> > Also mein Hiwi sagte mit das, dass n kongruent mit null
> > ist. dann würdest du doch 0 durch 0 teilen, oder wie
> > meinst du das? Wenn ja, würde das doch gar nicht gehen.
>
> es geht hier um die Restklasse von [mm]\frac{n}{n}[/mm], nicht
> darum, die Restklasse von [mm]n[/mm] durch die Restklasse von [mm]n[/mm] zu
> teilen.
>
> Ein grosser, sehr wichtiger Unterschied.
OK. Aber ich kann mir immer noch nicht wirklich etwas unter dem Ausdruck [mm]\frac{n}{n}[/mm] vorstellen. Wie ist dieser denn als Restklasse definiert? In dieser Art und Weise haben einen solchen Ausdruck noch nicht gehabt.
>
> > > > wegen der Ringstruktur, und somit keines von beidem.
> > >
> > > Es gibt sehr wohl Einheiten (zwei von der Zahl).
> > >
> > > Aber jetzt nochmal: gibt es Nullteiler? Und was sind
> > > Einheiten?
> > >
> > > Begruende das etwas geauer als mit "wegen der
> > > Ringstruktur".
> > >
> > Naja, ich meinte, wenn y invers zu x ist, sodass xy=1 mit
> > [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm] . Dies geht aber nicht, weil es im Ring kein
> > multiplikatives inverses Element gibt.
>
> Und was ist dann mit [mm]1 \cdot 1 = 1[/mm] und [mm](-1) \cdot (-1) = 1[/mm]?
>
> Damit hast du doch zwei Einheiten: [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm]!
Alles klar soweit. Dann heißt dies doch nichts anderes, als, wenn ich [mm]\IZ/n\IZ[/mm] befinde, dass (x,y)= (1,1) sein muss, da es keinen negativen Rest gibt, richtig?
>
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Di 07.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> > > Also mein Hiwi sagte mit das, dass n kongruent mit null
> > > ist. dann würdest du doch 0 durch 0 teilen, oder wie
> > > meinst du das? Wenn ja, würde das doch gar nicht gehen.
> >
> > es geht hier um die Restklasse von [mm]\frac{n}{n}[/mm], nicht
> > darum, die Restklasse von [mm]n[/mm] durch die Restklasse von [mm]n[/mm] zu
> > teilen.
> >
> > Ein grosser, sehr wichtiger Unterschied.
>
> OK. Aber ich kann mir immer noch nicht wirklich etwas unter
> dem Ausdruck [mm]\frac{n}{n}[/mm] vorstellen. Wie ist dieser denn
> als Restklasse definiert? In dieser Art und Weise haben
> einen solchen Ausdruck noch nicht gehabt.
Bekanntlich ist [mm] $\frac{n}{n} [/mm] = 1$ eine ganze Zahl. Und die Restkasse von 1 solltest du doch kennen?!
> > > > > wegen der Ringstruktur, und somit keines von beidem.
> > > >
> > > > Es gibt sehr wohl Einheiten (zwei von der Zahl).
> > > >
> > > > Aber jetzt nochmal: gibt es Nullteiler? Und was sind
> > > > Einheiten?
> > > >
> > > > Begruende das etwas geauer als mit "wegen der
> > > > Ringstruktur".
> > > >
> > > Naja, ich meinte, wenn y invers zu x ist, sodass xy=1 mit
> > > [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm] . Dies geht aber nicht, weil es im Ring kein
> > > multiplikatives inverses Element gibt.
> >
> > Und was ist dann mit [mm]1 \cdot 1 = 1[/mm] und [mm](-1) \cdot (-1) = 1[/mm]?
>
> >
> > Damit hast du doch zwei Einheiten: [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm]!
>
> Alles klar soweit. Dann heißt dies doch nichts anderes,
> als, wenn ich [mm]\IZ/n\IZ[/mm] befinde, dass (x,y)= (1,1) sein
> muss, da es keinen negativen Rest gibt, richtig?
Was genau willst du damit sagen? Da fehlt eine Menge Kontext...
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
mir ist eine Idee gekommen, um die Aufgabe zu lösen. Diese sagt doch explizit, dass ein Nullteiler nicht gleich zeitig eine Einheit sein kann. Genau dies ist zu zeigen.
Nun mein Beweis: xy=0 ist genau dann ein Nullteiler im [mm]\IZ/n\IZ[/mm] ,wenn [mm]y \ne 0[/mm]. Für die Einheit gilt xy=1 mit [mm]y= \bruch{1}{x}[/mm]. Da das ein Bruch ist und außer der 1 sonst nicht in [mm]\IZ/n\IZ[/mm] liegt, gilt also x=1 [mm]\Rightarrow y=1[/mm].
Nun vergleiche ich den Nullteiler mit der Einheit. Demzufolge muss x=1=0 gelten. Doch dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass Nullteiler und Einheit gleichzeitig gelten.
Ist dies so richtig?
Schönen Gruß
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 09.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
