Komplanaritätskriterium < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] D=\vmat{ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} }
[/mm]
g: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \overrightarrow{A} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} }
[/mm]
h: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \overrightarrow{B} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} } [/mm] |
Hallo miteinander!
Mir geht es bei meiner Frage insbesondere um das Komplanaritätskriterium zur Überprüfung der Lage zweier Geraden zueinander (D=0 -> komplanar -> Geraden schneiden sich).
Zur Überprüfung verwende ich [mm] det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}), [/mm] wobei a und b die Richtungsvektoren der Geraden g und h seien, und c der Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] zwischen den beiden Aufpunkten.
Nun zu meiner konkreten Frage:
Ist die Reihenfolge wie ich a b und c in die Determinante einsetze egal?
Ich habe Lösungen gesehen wo der Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] an erster Stelle kam, und die beiden Richtungsvektoren dann erst danach.
Sprich: ist es egal ob ich die Spalten in der Determinante untereinander tausche?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> [mm]D=\vmat{ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} }[/mm]
>
> g: [mm]\overrightarrow{X}[/mm] = [mm]\overrightarrow{A}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\vektor{ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} }[/mm]
> h: [mm]\overrightarrow{X}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{B}[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} }[/mm]
>
> Hallo miteinander!
> Mir geht es bei meiner Frage insbesondere um das
> Komplanaritätskriterium zur Überprüfung der Lage zweier
> Geraden zueinander (D=0 -> komplanar -> Geraden schneiden
> sich).
> Zur Überprüfung verwende ich
> [mm]det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}),[/mm]
> wobei a und b die Richtungsvektoren der Geraden g und h
> seien, und c der Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] zwischen den
> beiden Aufpunkten.
>
> Nun zu meiner konkreten Frage:
> Ist die Reihenfolge wie ich a b und c in die Determinante
> einsetze egal?
> Ich habe Lösungen gesehen wo der Vektor
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] an erster Stelle kam, und die beiden
> Richtungsvektoren dann erst danach.
> Sprich: ist es egal ob ich die Spalten in der Determinante
> untereinander tausche?
Wenn Du die Spalten einer Determinante tauschst, dann ändert sich nur ihr Vorzeichen (das Vorzeichen ist positiv, falls die drei Spaltenvektoren von links nach rechts ein Rechtsystem, negativ falls sie ein Linkssystem bilden). Für Dein Problem ist das Vorzeichen aber nicht wesentlich.
Du kannst dies auch leicht daran erkennen, dass ja (in Deinem Fall von 3-dim Vektoren) gilt: [mm]\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})= (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}[/mm]. Das Skalarprodukt [mm]\cdot[/mm] ist dabei kommutativ und das Vektorprodukt [mm]\times[/mm] ist anti-kommutativ (d.h. wechselt bei Vertauschen der beiden Faktoren das Vorzeichen).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Sa 23.06.2007 | | Autor: | readme.txt |
Recht herzlichen Dank für die schnelle und klare Antwort!
|
|
|
|
