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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 14.03.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Geben Sie die Menge aller komplexen Lösungen der Gleichung
[mm] \sqrt2|z+i|=|z+2i|
[/mm]
in Polarkoordinaten an. |
Möchte diese Aufgabe lösen und habe ein Problem mit der Wurzel. Ich weiß schlicht und einfach nicht, wie ich da ran gehen soll. Ohne Wurzel habe ich damit kein Problem, kann das ziemlich einfach einzeichnen und ablesen, aber was genau verändert die Wurzel? Wie kann ich mir das in der Gausschen Zahlenebene vorstellen?
Danke schonmal.
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Hallo hubbel,
> Geben Sie die Menge aller komplexen Lösungen der
> Gleichung
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> [mm]\sqrt2|z+i|=|z+2i|[/mm]
>
> in Polarkoordinaten an.
> Möchte diese Aufgabe lösen und habe ein Problem mit der
> Wurzel. Ich weiß schlicht und einfach nicht, wie ich da
> ran gehen soll. Ohne Wurzel habe ich damit kein Problem,
> kann das ziemlich einfach einzeichnen und ablesen, aber was
> genau verändert die Wurzel?
Das kannst du doch dann quadrieren.
Setze doch zunächst mal [mm]z=x+iy[/mm] und nutze die Definition des komplexen Betrages.
Dann hast du [mm]\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{x^2+(y+1)^2}=\sqrt{x^2+(y+2)^2}[/mm]
Das sollte doch klappen. Die Umwandlung kannst du am Schluss machen
> Wie kann ich mir das in der
> Gausschen Zahlenebene vorstellen?
Als Kreis - erkennst du wieder aus der Schule, wenn du es durchrechnest.
>
> Danke schonmal.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, natürlich:
[mm] 2(x^2+(y+1)^2)=x^2+(y+2)^2
[/mm]
[mm] 2(x^2+y^2+2y+1)=x^2+y^2+4y+4
[/mm]
[mm] 2x^2+2y^2+4y+2=x^2+y^2+4y+4
[/mm]
[mm] x^2+y^2=2
[/mm]
Jetzt bin ich etwas verwirrt, y ist ja der Imaginärteil und der müsste doch, damit das gleich 2 ist 0 sein oder? Oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Do 15.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ah, natürlich:
>
> [mm]2(x^2+(y+1)^2)=x^2+(y+2)^2[/mm]
> [mm]2(x^2+y^2+2y+1)=x^2+y^2+4y+4[/mm]
> [mm]2x^2+2y^2+4y+2=x^2+y^2+4y+4[/mm]
> [mm]x^2+y^2=2[/mm]
>
> Jetzt bin ich etwas verwirrt, y ist ja der Imaginärteil
> und der müsste doch, damit das gleich 2 ist 0 sein oder?
Nein.
> Oder sehe ich das falsch?
Ja.
Gesucht waren alle x+iy [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] x^2+y^2=2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Achso, das ist schon die Lösung, sprich alle x und y für die gilt [mm] x^2+y^2=2 [/mm] so zum Beispiel:
x=y=1 oder x=0 und [mm] y=\sqrt2
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Do 15.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achso, das ist schon die Lösung, sprich alle x und y für
> die gilt [mm]x^2+y^2=2[/mm] so zum Beispiel:
>
> x=y=1 oder x=0 und [mm]y=\sqrt2[/mm]
>
> Richtig?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Danke :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Im nachhinein ist mir noch eine Sache eingefallen und zwar soll ich das ja in Polarkoordinaten angeben, das ganze sind doch keine Polarkoordinaten oder?
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Hallo hubbel,
> Im nachhinein ist mir noch eine Sache eingefallen und zwar
> soll ich das ja in Polarkoordinaten angeben, das ganze sind
> doch keine Polarkoordinaten oder?
Ja.
Zu der Gleichung [mm]x^{2}+y^{2}=2[/mm] sollte Dir einiges einfallen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 So 18.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Also in Polarkoordinate sieht das ganze ja so aus:
z [mm] \in \IC
[/mm]
[mm] |z|e^{i\phi}
[/mm]
Wobei [mm] \phi=arccos \bruch{Re(z)}{|z|} [/mm] für Im(z) [mm] \ge [/mm] 0
bzw. für Im(z) < 0 ist [mm] \phi=-arccos \bruch{Re(z)}{|z|}
[/mm]
Die 2 damit auszudrücken is ja keine Kunst:
Betrag von 2 ist und arccos [mm] \bruch{Re(2)}{|2|}=0
[/mm]
[mm] 2e^{i*0}=2
[/mm]
Bin aber gerade überfragt, was ich mit dem [mm] x^2+y^2 [/mm] mache...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 So 18.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x=acos\phi,y=asin\phi [/mm]
[mm] x^2+y^2=a^2=2 [/mm] a=? [mm] z=a*e^{i·phi}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 So 18.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Moment, ich glaub ich verstehe, wir hatten:
[mm] e^{iz}=cos(z)+isin(z)
[/mm]
Dann wär aber doch
[mm] x^2=cos(z) [/mm] und [mm] y^2=sin(z)
[/mm]
Oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 So 18.03.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo hubbel,
die Lösungsmenge besteht dich aus all den y- und y-Komponenten, die
[mm] x^2 + y^2 = 2 [/mm]
erfüllen. Dies ist ein Kreis um den Ursprung mit einem Radius von [mm] \wurzel{2} [/mm].
Die Lösung in der z-Ebene ist also
[mm] z = \wurzel{2}(\cos \varphi + i \sin \varphi) [/mm]
wobei der Winkel alle Werte zwischen 0 und 2 Pi annehmen kann.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 So 18.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Das sehe ich ein, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Do 15.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo hubbel!
Bedenke, dass $x_$ und $y_$ als Real- bzw. Imaginärteil jeweils reelle Zahlen sind.
Gruß
Loddar
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