Komplexe Nullstel. Kurvendisku < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] $y=f(x)=\frac{e^x}{(x-1)^2}$
[/mm]
a) größtmöglichen Definitionsbereich angeben
b) lokale Extrema bestimmen und Art des Extremas
c) Bestimmen Sie die Wendepunkte von $f(x)$
d) geben Sie die ersten drei nicht verschwindenden Summanden der Taylorentwicklung von $f(x)$ im Entwicklungspunkt [mm] $x_0=2$ [/mm] an |
zu a) [mm] $D_f=x\epsilon\IR/x=1$ [/mm] alle $x$ außer $1$
zu b) [mm] $f'(x)=\frac{e^x\cdot(x-3)}{(x-1)^3}$
[/mm]
Nullstelle ist $3$ wegen $(x-3)=0$ für $x=3$
diese NST in das polynom des Zählers [mm] $f''(x)=\frac{e^x\cdot(X^2-6x+11)}{(x-1)^4}$ [/mm] eingesetzt ergibt $9-18+11=2$
$2$ ist größer 0 daraus folgt, das bei 3 ein Minimum vorliegt.
zu c) die Nullstelle vom Zählerpolynom von [mm] $f''(x)=\frac{e^x\cdot(x^2-6x+11)}{(x-1)^4}$ [/mm] also [mm] $x^2-6x+11$ [/mm] ist Komplex.
Was bedeutet das jetzt für meine Funktion? existiert der Wendepunkt?
Mein Problem ist das es für mich nicht sinnvoll ist diese komplexe NST in $f'''(x)$ ein zu setzten. wie werte ich mein Ergebnis richtig aus, bzw. was ist die aussage einer komplexen NST in so einem Fall?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo georg1982,
> Gegeben ist die Funktion
> [mm]y=f(x)=\frac{e^x}{(x-1)^2}[/mm]
> a) größtmöglichen Definitionsbereich angeben
> b) lokale Extrema bestimmen und Art des Extremas
> c) Bestimmen Sie die Wendepunkte von [mm]f(x)[/mm]
> d) geben Sie die ersten drei nicht verschwindenden
> Summanden der Taylorentwicklung von [mm]f(x)[/mm] im
> Entwicklungspunkt [mm]x_0=2[/mm] an
> zu a) [mm]D_f=x\epsilon\IR/x=1[/mm] alle [mm]x[/mm] außer [mm]1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b) [mm]f'(x)=\frac{e^x\cdot(x-3)}{(x-1)^3}[/mm]
> Nullstelle ist [mm]3[/mm] wegen [mm](x-3)=0[/mm] für [mm]x=3[/mm]
> diese NST in das polynom des Zählers
> [mm]f''(x)=\frac{e^x\cdot(X^2-6x+11)}{(x-1)^4}[/mm] eingesetzt
> ergibt [mm]9-18+11=2[/mm]
> [mm]2[/mm] ist größer 0 daraus folgt, das bei 3 ein Minimum
> vorliegt.
Du musst hier "richtig" einsetzen: [mm]f''(3)=\ldots >0[/mm]. Aber sonst ist es richtig.
> zu c) die Nullstelle vom Zählerpolynom von
> [mm]f''(x)=\frac{e^x\cdot(x^2-6x+11)}{(x-1)^4}[/mm] also [mm]x^2-6x+11[/mm]
> ist Komplex.
> Was bedeutet das jetzt für meine Funktion? existiert der
> Wendepunkt?
Kannst du denn eine Stelle [mm]x\red{\in\mathbb R}[/mm] angeben, wo [mm]f''(x)=0[/mm] ist? Ich denke nicht... Auch wenn die Gleichung im Komplexen Lösungen haben mag, im Reellen gibt es keinen Wendepunkt.
> Mein Problem ist das es für mich nicht sinnvoll ist diese
> komplexe NST in [mm]f'''(x)[/mm] ein zu setzten. wie werte ich mein
> Ergebnis richtig aus, bzw. was ist die aussage einer
> komplexen NST in so einem Fall?
Viel wichtiger ist die Aussage über die reellen Werte. In den komplexen Zahlen mag ja das eine oder andere gelten, aber wenn es im Reellen nicht zutrifft, kannst du daraus auch nichts folgern. In deinem konkreten Fall heißt dass: keine reelle Nullstelle bei der 2. Ableitung, kein Wendepunkt.
Du kannst sogar sagen: $f''(x)$ ist für alle [mm] $x\in\mathbb [/mm] R$ größer als Null (warum?) => die Funktion f ist überall rechtsgekrümmt, hat also keinen Wendepunkt.
Du kannst dir die Funktion auch z.B. unter ![[]](/images/popup.gif) www.wolframalpha.com anzeigen lassen.
Lieben Gruß,
Fulla
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