Komplexe Struktur Vektorraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 17.04.2016 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IR [/mm] - Vektorraum. Eine komplexe Struktur auf V ist ein Endomorphismus J: V [mm] \to [/mm] V mit [mm] J^2 [/mm] = -id, wobei id die identische Abbildung V [mm] \to [/mm] V ist.
Sei ein [mm] \IR [/mm] - Vektorraum mit einer komplexen Struktur J gegeben.
a) Zeigen Sie, dass V mit der Skalarmultiplikation (a+bi)*v := av + bJ(v) zu einem [mm] \IC [/mm] - Vektorraum wird.
b) Sei V endlich dimensional (dim V=n). Zeigen Sie, dass dann [mm] dim_\IR [/mm] V gerade ist. |
Hallo,
im Folgenden geht es nur um den Aufgabenteil b).
Bei obiger Aufgabe habe ich leider etwas Probleme.
Ich hätte wie folgt argumentiert:
[mm] J^2 [/mm] = -id
<=> J(J(v))=-v, für alle v [mm] \in [/mm] V.
Da J ein Endomorphismus ist, kann J auch als Matrix dargestellt werden.
Sei A die darstellende Matrix von J:
A*A*v=-v
<=> [mm] v(A^2+I_n)=0 (I_n [/mm] sei die Einheitsmatrix)
=> [mm] A^2=-I_n
[/mm]
=> [mm] A=i*I_n
[/mm]
Dann hätte ich gesagt, [mm] Dim_\IR [/mm] V = n, da die dimension des Kerns von [mm] i*I_n [/mm] = 0 und die des Bildes von [mm] i*I_n [/mm] = n ist.
Offensichtlich habe ich so nicht gezeigt das die Dimension von V gerade ist.
Ich hoffe ihr könnt mir sagen wo mein Fehler liegt.
LG
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Ich würde auf [mm]J^2 = - \operatorname{id}[/mm] die Determinante anwenden. Beachte den Determinantenmultiplikationssatz [mm]\det( \varphi \circ \psi) = \det(\varphi) \cdot \det(\psi)[/mm] sowie [mm]\det( \lambda \varphi) = \lambda^n \det( \varphi)[/mm] für Endomorphismen [mm]\varphi, \psi[/mm] von [mm]V[/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm]. Und beachte: wir sind hierbei in [mm]\mathbb{R}[/mm].
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