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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo hab eine kurze frage! Ich soll den Real und Imaginärteil berechnen was an sich gar kein problem ist. Also die aufgabe ist
z = [mm] (1+i)^{10}
[/mm]
Ich bekomme durch direkte rechnung als realteil 0 heraus und als imaginärteil 32...aber geht das nicht einfacher und schneller weil ich habe diesen Term z = [mm] (1+i)^{10} [/mm] aufgespalten in [mm] (1+i)^{2} \* (1+i)^{2} \* (1+i)^{2} \* (1+i)^{2} \* (1+i)^{2} [/mm] gibt es da ne spezielle formel für? Wir hatten die Formel von Moivre in der vorlesung aber die bringt mich da irgendwie nicht weiter...Kann mir da jemand helfen?
Gruß
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Hallo Tyskie84,
du kannst dir die Rechnung in der Tat verkürzen, wenn du das so aufteilst, wie du geschrieben hast:
[mm] $(1+i)^{10}=\left[(1+i)^2\right]^5=(2i)^5=2^5\cdot{}i^5=32\cdot{}i^5=...$
[/mm]
Die Potenzen von i kennst du ja, die wiederholen sich in einem 4er Zyklus:
[mm] i^1=i
[/mm]
[mm] i^2=-1
[/mm]
[mm] i^3=-i
[/mm]
[mm] i^4=1
[/mm]
[mm] i^5=(i^4)\cdot{}i=1\cdot{}i=i [/mm] usw
LG
schachuzipus
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ich klink ich hier einfach mal ein, hab nämlich ein ähnliches prblem:
[mm] (\bruch{\wurzel{3}-i}{2})^{2007}
[/mm]
irgentwlche tipps dazu? ich weiss das am ende -i rauskommt aber ka wie ich dadrauf komme.
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Hallo AAW,
hast du mal die ersten paar Potenzen von [mm] $\left(\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right)^n$ [/mm] berechnet?
Mache das mal, dann siehst du's direkt.
Bedenke außerdem: [mm] $2007=3\cdot{}669$
[/mm]
LG
schachuzipus
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