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| Aufgabe | Sämtliche Lösungen in Normalform angeben
[mm] Z^{3} [/mm] = - 2 - 2 * i
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe mir eine 6 Schritt Anleitung geschrieben und bin nach dieser durchgegangen, aber irgendwo ist ein Fehler.
Umstellen:
Z=(- 2 - 2 * [mm] i)^{-3}
[/mm]
1. a und b bestimmen
a= -2
b= -2
2. n bestimmen
n= 3
Also 3 Lösungen
3. [mm] \alpha [/mm] bestimmen
arctan [mm] \bruch{b}{a} [/mm] = arctan [mm] \bruch{-2}{-2} [/mm] = arctan 1 = 45° [mm] \hat= [/mm] 0.7854 im Bogenmaß (nicht sicher)
4. einsetzen in
[mm] phi_{k}= \bruch{ \alpha + 2 * \pi * k }{n}
[/mm]
also
k=0
[mm] phi_{0}= \bruch{ 0.7854 + 2 * \pi * 0 }{3} [/mm] = 0,262
k=1
[mm] phi_{1}= \bruch{ 0.7854 + 2 * \pi * 1 }{3} [/mm] = 2,36
k=2
[mm] phi_{2}= \bruch{ 0.7854 + 2 * \pi * 2 }{3} [/mm] = 6,55
(bin mir nicht sucher, ob man für [mm] \alpha [/mm] das Boganmaß einsetzt)
5. r brechnen
r= [mm] \wurzel{-2^{2}+-2^{2}}^{-3} [/mm] = [mm] \wurzel{8}^{-3} \approx [/mm] 1,41
6. jedes k einsetzen in:
W= [mm] \wurzel{Z}^{-n}= [/mm] r* ( [mm] cos(phi_{k}) [/mm] + i * [mm] sin(phi_{k}))
[/mm]
[mm] W_{0}= [/mm] 1,41 * ( cos(0,262) + i * sin(0,262)) [mm] \approx [/mm] 1,36 + 0,36 i
[mm] W_{1}= [/mm] 1,41 * ( cos(2,36) + i * sin(2,36)) [mm] \approx [/mm] -1 + 0,99 i
[mm] W_{2}= [/mm] 1,41 * ( cos(6,55) + i * sin(6,55)) [mm] \approx [/mm] 1,39 + 0,365 i
Und wenn ich die Lösungen einzeichne sehe ich schon, dass das nicht stimmen kann. Kann jmd meinen Fehler finden?
DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo flop
Deine Schritte sind eigentlich richtig!
> Sämtliche Lösungen in Normalform angeben
> [mm]Z^{3}[/mm] = - 2 - 2 * i
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe
> mir eine 6 Schritt Anleitung geschrieben und bin nach
> dieser durchgegangen, aber irgendwo ist ein Fehler.
> Umstellen:
> Z=(- 2 - 2 * [mm]i)^{-3}[/mm]
falsche Schreibweise, du meinst höffentlich :
Z=(- 2 - 2 * [mm]i)^{1/3}[/mm]
> 1. a und b bestimmen
> a= -2
> b= -2
>
> 2. n bestimmen
> n= 3
> Also 3 Lösungen
>
> 3. [mm]\alpha[/mm] bestimmen
> arctan [mm]\bruch{b}{a}[/mm] = arctan [mm]\bruch{-2}{-2}[/mm] = arctan 1 =
> 45° [mm]\hat=[/mm] 0.7854 im Bogenmaß (nicht sicher)
dass 180° [mm] \pi [/mm] entspricht solltest du wissen, also [mm] 45°=\pi/4
[/mm]
oder wenn dir das mehr liegt, kannst du auch alles mit ° rechnen und statt [mm] 2\pi [/mm] einfach 360° addieren.
so: hier liegt dein Irrtum! wenn du die Zahl einzeichnest, siehst du dass sie bei 180°+45° liegt. nur dein TR gibt den Wert nicht an, sondern nur den Hauptwert! ,
> 4. einsetzen in
> [mm]phi_{k}= \bruch{ \alpha + 2 * \pi * k }{n}[/mm]
>
> also
> k=0
> [mm]phi_{0}= \bruch{ 0.7854 + 2 * \pi * 0 }{3}[/mm] = 0,262
> k=1
> [mm]phi_{1}= \bruch{ 0.7854 + 2 * \pi * 1 }{3}[/mm] = 2,36
> k=2
> [mm]phi_{2}= \bruch{ 0.7854 + 2 * \pi * 2 }{3}[/mm] = 6,55
>
> (bin mir nicht sucher, ob man für [mm]\alpha[/mm] das Boganmaß
> einsetzt)
Wenn du mit [mm] \pi [/mm] rechnest immer!
> 5. r brechnen
r= [mm]\wurzel{-2^{2}+-2^{2}}^{1/3}[/mm] = [mm]\wurzel{8}^{-3} \approx[/mm]
> 1,41
besser [mm] \wurzel{2}
[/mm]
> 6. jedes k einsetzen in:
> W= [mm]\wurzel{Z}^{-n}=[/mm] r* ( [mm]cos(phi_{k})[/mm] + i * [mm]sin(phi_{k}))[/mm]
>
> [mm]W_{0}=[/mm] 1,41 * ( cos(0,262) + i * sin(0,262)) [mm]\approx[/mm] 1,36
> + 0,36 i
> [mm]W_{1}=[/mm] 1,41 * ( cos(2,36) + i * sin(2,36)) [mm]\approx[/mm] -1 +
> 0,99 i
> [mm]W_{2}=[/mm] 1,41 * ( cos(6,55) + i * sin(6,55)) [mm]\approx[/mm] 1,39 +
> 0,365 i
Du solltest am Anfang die einzelnen Schritte zeichnerisch verfolgen, dann merkst du schon am Anfang, wenn was schief läuft.
aber dein planmäßiges Vorgehen gefällt mir, allerdings solltest du dir das an hand der komplexen Ebene auch vorstellen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Di 09.05.2006 | | Autor: | terraflop |
Hallo,
danke habe meinen Fehler gefunden.
Er lag bie einem Flaschen w0.
Jetzt habe ich ein 3 Eck.
Ich hätte direkt mit 45°= [mm] \bruch{ \pi}{4} [/mm] rechnen müssen und statt der 3. Wurzel von 8 einfach [mm] \wurzel{2}
[/mm]
DANKE
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