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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mo 09.07.2007 | | Autor: | ex.aveal |
| Aufgabe | Von dem Polynom [mm] p(z)=2z^{4}+az³+bz²+cz+d [/mm] mit den reellen Koeffizienten a, b, c und d sind zwei Nullstellen [mm] z_{1}=-1-2j [/mm] und [mm] z_{2}=3-j [/mm] gegeben.
Zerlegen Sie zunächst p(z) in ein Produkt von Linearfaktoren und berechnen Sie daraus die Werte von a, b, c und d. |
Hallo.
Wir müssen hier oben gestellte Aufgabe Lösen.
Wir haben die 4 Nullstellen [mm] z_{1}, z_{2}, z_{1}* [/mm] und [mm] z_{2}*
[/mm]
Wenn wir diese nun einsetzen in der Form
[mm] 2(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{1}*)(z-z_{2}*)
[/mm]
müssen wir _ewig_ rechnen. Kommen nie auf ein vernünftiges Ergebnis, weil man sich dauernd verrechnet. Gibt es da noch eine andere Möglichkeit? Oder kann uns jemand die Werte für a, b, c und d nennen, damit wir eine Vergleichsmöglichkeit haben? DIe Aufgabe ist wirklich pure Schreibarbeit und Konzentration. Die haben wir wohl nicht.
Dankeschön!
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> Von dem Polynom [mm]p(z)=2z^{4}+az³+bz²+cz+d[/mm] mit den reellen
> Koeffizienten a, b, c und d sind zwei Nullstellen
> [mm]z_{1}=-1-2j[/mm] und [mm]z_{2}=3-j[/mm] gegeben.
> Zerlegen Sie zunächst p(z) in ein Produkt von
> Linearfaktoren und berechnen Sie daraus die Werte von a, b,
> c und d.
> Hallo.
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> Wir müssen hier oben gestellte Aufgabe Lösen.
> Wir haben die 4 Nullstellen [mm]z_{1}, z_{2}, z_{1}*[/mm] und
> [mm]z_{2}*[/mm]
>
> Wenn wir diese nun einsetzen in der Form
>
> [mm]2(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{1}*)(z-z_{2}*)[/mm]
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> müssen wir _ewig_ rechnen. Kommen nie auf ein vernünftiges
> Ergebnis, weil man sich dauernd verrechnet. Gibt es da noch
> eine andere Möglichkeit?
Ich weiss nicht genau, was ihr rechnet. Multipliziert ihr das Produkt einfach aus?
Besser wäre vermutlich den "Wurzelsatz von Vieta" zu verwenden. Nach Vieta besteht ja ein Zusammenhang zwischen den Wurzeln einer algebraischen Gleichung $n$-ten Grades [mm] $a_n z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots [/mm] + [mm] a_1 z+a_0 [/mm] = 0$ und den Koeffizienten [mm] $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$:
[/mm]
[mm]\begin{array}{rclcl}
z_1+z_2+\cdots + z_n &=& \displaystyle \sum_{k=1}^n z_k &=& -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\
z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3 + \cdots + z_{n-1}\cdot z_n &=& \displaystyle\sum_{\overset{i,k=1}{i < k}}^n z_i z_k &=&\frac{a_{n-2}}{a_n}\\
\ldots\\
z_1\cdot z_2\cdots z_n & & &=&(-1)^n \frac{a_0}{a_n}
\end{array}
[/mm]
Da die Wurzeln in konjugiert-komplexen Paaren auftreten, lassen sich einige dieser Summen/Produkte von Wurzeln noch vereinfachen.
> Oder kann uns jemand die Werte für
> a, b, c und d nennen, damit wir eine Vergleichsmöglichkeit
> haben?
[mm]p(z)=2z^4-8z^3+6z^2-20z+100[/mm]
> DIe Aufgabe ist wirklich pure Schreibarbeit und
> Konzentration. Die haben wir wohl nicht.
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> Von dem Polynom [mm]p(z)=2z^{4}+az³+bz²+cz+d[/mm] mit den reellen
> Koeffizienten a, b, c und d sind zwei Nullstellen
> [mm]z_{1}=-1-2j[/mm] und [mm]z_{2}=3-j[/mm] gegeben.
> Zerlegen Sie zunächst p(z) in ein Produkt von
> Linearfaktoren und berechnen Sie daraus die Werte von a, b,
> c und d.
> Hallo.
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> Wir müssen hier oben gestellte Aufgabe Lösen.
> Wir haben die 4 Nullstellen [mm]z_{1}, z_{2}, z_{1}*[/mm] und
> [mm]z_{2}*[/mm]
>
> Wenn wir diese nun einsetzen in der Form
>
> [mm]2(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{1}*)(z-z_{2}*)[/mm]
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> müssen wir _ewig_ rechnen. Kommen nie auf ein vernünftiges
> Ergebnis, weil man sich dauernd verrechnet. Gibt es da noch
> eine andere Möglichkeit?
Da die Nullstellen in konjugiert komplexen Paaren auftreten könnte man auch folgenden Weg gehen:
[mm]\begin{array}{rcl}
p(z) &=&2\cdot [(z-z_1)(z-\overline{z}_1)]\cdot [(z-z_2)(z-\overline{z}_2)]\\
&=&2\cdot [z^2-2\Re(z_1)z+|z_1|^2]\cdot [z^2-2\Re(z_2)z+|z_2|^2]\\
&=&2\cdot [z^2+2z+5]\cdot [z^2-6z+10]\\
&=& 2z^4-8z^3+6z^2-20z+100=\ldots
\end{array}[/mm]
Wobei [mm] $\Re(z_{1,2})$ [/mm] der Realteil von [mm] $z_{1,2}$ [/mm] ist.
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