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| Aufgabe | Stellen Sie fest, ob folgende Probleme gut oder schlecht konditioniert
sind:
Bestimmung von x − y falls x ≈ eps, y ≈ [mm]10^6[/mm]
Bestimmung von x − y falls x ≈ y |
Hi,
Ich suche nach einem Lösungsansatz für die Konditionierung der obigen Aufgabe. Ich habe durch Suchen in verschiedenen Büchern die Formel
[mm]k = \frac{|a|-|b|}{|a-b|}[/mm]
gefunden. Reicht es wenn ich die Werte einfach in diese Formel eintrage und die ausgerechnete Zahl dann bewerte? Oder muss ich noch etwas beachten?
Würde ich z.B. die Funktion f(x) = [mm]x^2[/mm] bewerten wollen, greift die Funktion
[mm]k = \frac{x * f'(x)}{f(x)}[/mm]
und durch einfaches Umstellen erreiche ich die Konditionszahl 2.
Setze ich in die Formel für die Subtraktion x ≈ y würde mann dann durch 0 teilen. Stellt dies dann eine schlechte Konditionierung dar?
(eps ist die Maschinengenauigkeit)
freundliche Grüße
Malte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Stellen Sie fest, ob folgende Probleme gut oder schlecht
> konditioniert
> sind:
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> Bestimmung von x − y falls x ≈ eps, y ≈ [mm]10^6[/mm]
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> Bestimmung von x − y falls x ≈ y
> Ich suche nach einem Lösungsansatz für die
> Konditionierung der obigen Aufgabe. Ich habe durch Suchen
> in verschiedenen Büchern die Formel
>
> [mm]k = \frac{|a|-|b|}{|a-b|}[/mm]
>
> gefunden. Reicht es wenn ich die Werte einfach in diese
> Formel eintrage und die ausgerechnete Zahl dann bewerte?
> Oder muss ich noch etwas beachten?
Wichtig ist, dass es bei der Konditionierung einer Aufgabe NICHT auf die genaue Zahl ankommt. sondern nur auf die Größenordnung. So bedeutet eine Kondition in der Gegend von 1 oder kleiner eine "gute Kondition", wesentlich größere Konditionen >> 1 sind schlecht.
Natürlich musst du mit den Formeln aus eurer Vorlesung rechnen. Habt ihr keine Formeln gehabt?
Die übliche Formel für die relative Kondition einer Aufgabe lautet:
[mm] $k_{rel} [/mm] = [mm] \frac{||x||}{||f(x)||}\cdot [/mm] ||f'(x)||$
Dabei bedeuten die Doppelstriche die gewählte Norm (z.B. Betrag im eindimensionalen).
Deine Formel oben stimmt sicher nicht. Sie ist aber OK, wenn du im Zähler das "-" durch ein "+" ersetzt. Wir berechnen mal die relative Kondition für $f(x,y) = x-y$:
Dann ist $f'(x,y) = (1,-1)$ (Gradient, mehrdimensionale Ableitung) als Norm wählen wir in [mm] $\IR^2$ [/mm] die 1-Norm: $||(a,b)|| = |a|+|b|$ (man kann hier beliebige Normen wählen, da alle in etwa dieselbe Größe liefern) und somit:
[mm] $k_{rel} [/mm] = [mm] \frac{|x|+|y|}{|x-y|}*2$ [/mm] (*)
> Würde ich z.B. die Funktion f(x) = [mm]x^2[/mm] bewerten wollen,
> greift die Funktion
>
> [mm]k = \frac{x * f'(x)}{f(x)}[/mm]
>
> und durch einfaches Umstellen erreiche ich die
> Konditionszahl 2.
Genau.
> Setze ich in die Formel für die Subtraktion x ≈ y würde
> mann dann durch 0 teilen. Stellt dies dann eine schlechte
> Konditionierung dar?
Ja.
Setzen wir mal die Werte in die Formel (*) ein:
Bei der ersten Aufgabe erhältst du dann [mm] $k_{rel} \approx [/mm] 2$, also gut konditioniert. Du siehst, dass es nicht nur auf die Berechnungsformel $f$ ankommt, in die man die Zahlen reinsteckt, sondern auch was man für Zahlen reinsteckt.
Bei der zweiten Aufgabe steht da:
[mm] $k_{rel} [/mm] = [mm] \frac{|x|+|y|}{|x-y|}*2 \approx \infty$,
[/mm]
also sehr schlecht konditioniert.
Viele Grüße,
Stefan
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Hi,
vielen Dank für die schnelle Antwort und ausführliche Beschreibung.
Ich habe jetzt noch ein Verständnisproblem bezüglich der Formel
[mm]k_{rel} = \frac{|x|+|y|}{|x-y|}\cdot 2[/mm]
Wie genau bist du dadrauf gekommen? Hast du das über die übliche Formel für [mm]k_{rel}[/mm] berechnet? Und woher stammt der Faktor 2?
Ich hatte in einem Buch eine ähnliche Formel für die Addition gefunden, bei welcher einzig das - im Nenner durch ein + ersetzt ist. Dort gibt es jedoch nicht den Faktor 2.
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Hallo,
> Ich habe jetzt noch ein Verständnisproblem bezüglich der
> Formel
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> [mm]k_{rel} = \frac{|x|+|y|}{|x-y|}\cdot 2[/mm]
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> Wie genau bist du dadrauf gekommen? Hast du das über die
> übliche Formel für [mm]k_{rel}[/mm] berechnet? Und woher stammt
> der Faktor 2?
Das kommt aus der allgemeinen Formel, die ich angegeben habe, wenn man für $||...||$ die 1-Norm wählt. Also $||(a,b)|| = |a| + |b|$.
$f(x,y) = x-y$, $f'(x,y) = (1,-1)$.
$||(x,y)|| = |x|+|y|$
$||f'(x,y)|| = ||(1,-1)|| = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2$ (daher kommt die "2").
$||f(x,y)|| = |x-y|$.
Nun in die übliche Formel einsetzen!
Zu der Formel in dem Buch kann ich nichts sagen, weil ich ja nicht weiss in welchem Kontext die auftaucht. Ich halte es aber für unwahrscheinlich, dass die dort wirklich die RELATIVE Kondition der Subtraktion meinen, denn für Zahlen [mm] $x\approx [/mm] y$ liefert diese Formel keine großen Werte.
Viele Grüße,
Stefan
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Ok,
ich hab es verstanden.
Vielen Dank für die Hilfe.
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