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Konditionszahlen Verkettung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:55 Mi 01.04.2020
Autor: descom

Aufgabe
Es sei eine Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] x\in\IR [/mm]
Es bezeichne [mm] k_{f} [/mm] (x) die Kondition dieser Aufgabe.
Beweisen Sie, ist [mm] f:=f_{1}\circf_{2}\circ...\circf_{k} k\in\IN [/mm]
die Verkettung von k differenzierbaren Funktionen [mm] f_{i}:\IR\to\IR [/mm] i=1,..,k und ist [mm] f_{i}(f_{i+1}\circ...\circf_{k}(x)\not=0 [/mm] für i=1,...,k-1 sowie [mm] f_{k}(x)\not=0, [/mm] dann ist:
[mm] k_{f}=k_{f_{k}}(x)\produkt_{i=1}^{k-1}k_{f_{i}}(f_{i+1}\circ...\circf_{k}(x)) [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Der Versuch die zu lösen war mittels vollständiger Induktion über k mit Startwert 1, mithilfe der gleich folgenden Gleichungen und der Induktionsannahmen.
Es sei [mm] f(x):=f_{1}\circf_{2}\circ...\circf_{k} f_{*}:= f_{0}(f(x)) [/mm]
Hier sind die verwendeten Gleichungen:

[mm] 1)k_{f_{0}}=\bruch{f(x)}{f_{0}(f(x)))}*\bruch{\partialf_{0}}{\partialx} [/mm]
[mm] 2)k_{f_{*}}=\bruch{x}{f_{*}}*\bruch{\partialf_{*}}{\partialx}(x) [/mm]
[mm] 3)k_{f}=\bruch{x}{f(x)}*\bruch{\partialf}{\partialx}(x) [/mm]

Dann wurde umgeformt und die Identität
[mm] bruch{\partialf_{*}}{\partialx}=bruch{\partialf_{0}}{\partialf}*bruch{\partialf}{\partialx} [/mm]
verwendet.

Der Beweis nach k+1 würde jedoch nur klappen, wenn [mm] k_{f_{*}}=k_{f_{0}}*...*k_{f_{k}} [/mm] gelten würde

Ich schätze dass bei der Wahl der Gleichungen 1 und 2 ein Fehler liegt, dieser ist mir jedoch nicht ersichtlich.
Gleichung 3 Ist die Definition der Konditionszahl für eine Funktion mit einer Variable.
Möglicherweise ist auch die Wahl der vollständigen Induktion als Beweismethode nicht passend.
Ich sehe den Fehler in meinem Ansatz leider nicht und bitte um weiterhilfe.

lg und danke im Voraus

        
Bezug
Konditionszahlen Verkettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:03 Mi 01.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorab: Du hast eine Vorschaufunktion. Aktuell lässt sich dein Artikel wegen Fehlformatierungen so gut wie nicht lesen. Achte da biste nächste Mal drauf.

Ich übersetze das also mal

Sei $ [mm] f:=f_{1}\circ f_{2} \circ\ldots\circ f_{k}, k\in\IN [/mm] $ mit [mm] $f_i \in C^1(\IR), f_{i}\left((f_{i+1}\circ\ldots\circ f_{k})(x)\right)\not=0 [/mm] $ (das hast du übrigens noch nirgends benutzt) sowie $ [mm] f_{k}(x)\not=0$ [/mm] (das auch nicht)

Zeige:
$ [mm] k_{f}(x) [/mm] = [mm] k_{f_{k}}(x)\produkt_{i=1}^{k-1}k_{f_{i}}\left((f_{i+1}\circ\ldots\circ f_{k})(x)\right) [/mm] $

> Der Versuch die zu lösen war mittels vollständiger Induktion

Nette Idee, hier aber unnötig (wenn auch möglich).
Schreib die rechte Seite doch mal für bspw $k=4$ hin und schau, was dir auffällt.

Letztendlich ist der Beweis ziemlich gerade heraus: Rechte Seite ausschreiben, kürzen, fertig.

Gruß,
Gono.


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