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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 So 24.06.2012 | | Autor: | test1234 |
| Aufgabe 1 | | Seien [mm] G_{1} [/mm] und [mm] G_{2} [/mm] endliche Gruppen mit je [mm] s_{1} [/mm] und [mm] s_{2} [/mm] Konjugationsklassen. Beweisen Sie, dass [mm] G_{1} \times G_{2} [/mm] genau [mm] s_{1}*s_{2} [/mm] Konjugationsklassen besitzt. |
| Aufgabe 2 | Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung 2n mit n ungerade. Wir bezeichnen mit X alle zweielementige Teilmengen von G und definieren g*x={gh; h [mm] \in [/mm] x}.
i) Beweisen Sie, dass #Stab(x) [mm] \le [/mm] 2 für jedes x [mm] \in [/mm] X.
ii) Schließen sie aus i) und der Bahnformel, dass G eine Untergruppe der Ordnung 2 besitzt. [ Hinweis: #X= {n [mm] \choose [/mm] k} ] |
| Aufgabe 3 | | Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 4 zu einer Untergruppe von [mm] D_{4} [/mm] (Diedergruppe) isomorph ist. |
Zu Aufgabe 1:
Die Konjugationsoperation für das Kreuzprodukt von [mm] G_{1} [/mm] und [mm] G_{2} [/mm] müsste ja so aussehen:
[mm] (G_{1} \times G_{2}) \times (G_{1} \times G_{2}) \to G_{1} \times G_{2} [/mm] , [mm] ((g_{1},g_{2}),(x_{1},x_{2})) \mapsto (g_{1},g_{2}) (x_{1},x_{2}) (g_{1},g_{2})^-1
[/mm]
Kann ich [mm] (g_{1},g_{2}) (x_{1},x_{2}) (g_{1},g_{2})^-1 [/mm] vereinfachen indem ich alle 3 Tupel komponentenweise multiplieziere (oder ist das in diesem Fall nur eine unbekannte Verknüpfung der jeweiligen Gruppe wenn da nur xy anstatt x*y oder x+y steht?). Würde dann ja auf
[mm] (g_{1}x_{1}g_{1}^-1, g_{2}x_{2}g_{2}^-1) [/mm] hinauslaufen. Sieht iwie hilfreich aus, weil ich's dann ja [mm] G_{1} [/mm] und [mm] G_{2} [/mm] zurückführen kann, aber weiß leider nicht wie.
Zu den restlichen Aufgaben fehlt mir leider ein richtiger Ansatz. Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig behilflich sein. :/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Di 26.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien [mm]G_{1}[/mm] und [mm]G_{2}[/mm] endliche Gruppen mit je [mm]s_{1}[/mm] und
> [mm]s_{2}[/mm] Konjugationsklassen. Beweisen Sie, dass [mm]G_{1} \times G_{2}[/mm]
> genau [mm]s_{1}*s_{2}[/mm] Konjugationsklassen besitzt.
Ein kleiner Tipp: Wenn du nicht alles auf einmal als Frage stellst, sondern es auf mehrere (hier: drei) kleinere Fragen verteilst, erhoehst du die Chance dass das auch jemand beantwortet.
> Zu Aufgabe 1:
>
> Die Konjugationsoperation für das Kreuzprodukt von [mm]G_{1}[/mm]
> und [mm]G_{2}[/mm] müsste ja so aussehen:
>
> [mm](G_{1} \times G_{2}) \times (G_{1} \times G_{2}) \to G_{1} \times G_{2}[/mm]
> , [mm]((g_{1},g_{2}),(x_{1},x_{2})) \mapsto (g_{1},g_{2}) (x_{1},x_{2}) (g_{1},g_{2})^{-1}[/mm]
>
>
> Kann ich [mm](g_{1},g_{2}) (x_{1},x_{2}) (g_{1},g_{2})^{-1}[/mm]
> vereinfachen indem ich alle 3 Tupel komponentenweise
> multiplieziere
Ja.
> (oder ist das in diesem Fall nur eine
> unbekannte Verknüpfung der jeweiligen Gruppe wenn da nur
> xy anstatt x*y oder x+y steht?).
Ist es, aber rechnen kannst du damit trotzdem (wie mit [mm] $\cdot$).
[/mm]
> Würde dann ja auf
>
> [mm](g_{1}x_{1}g_{1}^{-1}, g_{2}x_{2}g_{2}^{-1})[/mm] hinauslaufen.
Genau.
> Sieht iwie hilfreich aus, weil ich's dann ja [mm]G_{1}[/mm] und
> [mm]G_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zurückführen kann, aber weiß leider nicht wie.
Nimm dir doch ein Repraesentantensystem $S_1$ der Konjugationsklassen von $G_1$ und ein Repraesentantensystem $S_2$ der Konjugationsklassen von $G_2$. Zeige, dass $S_1 \times S_2$ ein Repraesentantensystem der Konjugationsklassen von $G_1 \times G_2$ ist.
> Zu den restlichen Aufgaben fehlt mir leider ein richtiger
> Ansatz. Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig behilflich sein.
> :/
Zu Aufgabe 2:
> Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung 2n mit n ungerade.
> Wir bezeichnen mit X alle zweielementige Teilmengen von G
> und definieren g*x={gh; h [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x}.
>
> i) Beweisen Sie, dass #Stab(x) [mm]\le[/mm] 2 für jedes x [mm]\in[/mm] X.
> ii) Schließen sie aus i) und der Bahnformel, dass G eine
> Untergruppe der Ordnung 2 besitzt. [ Hinweis: [mm] $\#X= \binom{n}{k}$ [/mm] ]
Sei $A = [mm] \{ a, b \} \in [/mm] X$ eine zweielementige Teilmenge von $G$ und sei $g [mm] \in [/mm] G$. Dann bedeutet $g [mm] \cdot [/mm] A = A$ doch [mm] $\{ g a, g b \} [/mm] = [mm] \{ a, b \}$. [/mm] Also muss entweder $g a = a, g b = b$ oder $g a = b, g b = a$ sein.
Was folgt daraus jeweils fuer $g$?
Zu Aufgabe 3:
> Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 4 zu einer
> Untergruppe von [mm]D_{4}[/mm] (Diedergruppe) isomorph ist.
Beachte, dass [mm] $D_4 \subseteq S_4$ [/mm] auf einer Gruppe der Ordnung 4 operiert. Damit kannst du vielleicht etwas machen.
LG Felix
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