Konsistenter Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] S_n [/mm] die Anzahl der markierten Kugeln in der Stichprobe (aus einer Urne mit s markierten und N-s nicht markierten Kugeln wird n mal mit Zurücklegen gezogen). Beweisen Sie, dass die Folge der Schätzer [mm] s\bruch{n+1}{S_n+1} [/mm] konsistent ist (geschätzt wird die Anzahl der Kugeln N). |
Ich möchte zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Var(s\bruch{n+1}{S_n+1})=0.
[/mm]
Es ist [mm] S_n \sim B_{n,p} [/mm] mit [mm] p=\bruch{s}{N}.
[/mm]
Jetzt berechne ich die Varianz:
[mm] Var(s\bruch{n+1}{S_n+1})=s^2(n+1)^2*Var(\bruch{1}{S_n+1})
[/mm]
Dazu:
[mm] E[\bruch{1}{S_n+1}]=\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k+1}\vektor{n \\ k}p^k*(1-p)^{n-k}
[/mm]
[mm] E[(\bruch{1}{S_n+1})^2]=\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)^2}\vektor{n \\ k}p^k*(1-p)^{n-k}
[/mm]
Und jetzt steh ich an. ist das soweit überhaupt richtig und hat jemand eine Idee wies weitergeht? Eventuell eine Abschätzung?
Besten Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Di 27.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin chimneytop,
eine spannende Frage, leider habe ich keine Antwort parat.
Zwei Anmerkungen:
1) Ich vermute, dass du Konsistenz im quadratischen Mittel
nachweisen willst, zumindest deutet dein Loesungsansatz darauf hin.
Hierfuer reicht es nicht aus zu zeigen, dass die Varianz asymptotisch
verschwindet. Vielmehr musst du zeigen, dass [mm] $\operatorname{E}[(s(n+1)/(S_n+1)-N)^2]$
[/mm]
fuer [mm] $n\to \infty$ [/mm] gegen Null geht. Hab mal mit verschiedenen s,N,n
herumgespielt. Es scheint zu klappen, aber analytisch scheint die
Chose vertrackt zu sein.
2) Willst du schwache Konsistenz nachweisen, so kannst du
vermutlich ueber den Zentralen Grenzwertsatz argumentieren.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Di 27.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Wir haben definiert: eine Schätzfolge [mm] T_n [/mm] ist konsistent, wenn gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P_\theta^n(|T_n(X_1,...,X_n)-\theta|> \epsilon)=0 [/mm] usw.
Hinreichende Bedingung dafür ist (lässt sich mit der Ungleichung von Tschebyschew beweisen) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Var_\theta(\theta_n)=0.
[/mm]
Glaub also schon, dass der Ansatz stimmen müsste.
Andere Frage: Gilt diese Bedingung dann auch umgekehrt (bräuchte das für ein anderes Beispiel): Also folgt aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Var_\theta(\theta_n)>0 [/mm] bereits, dass die Folge nicht konsistent ist?
Vielen Dank!
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Wir haben definiert: eine Schätzfolge $ [mm] T_n [/mm] $ ist konsistent, wenn gilt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P_\theta^n(|T_n(X_1,...,X_n)-\theta|> \epsilon)=0 [/mm] $ usw.
Hinreichende Bedingung dafür ist (lässt sich mit der Ungleichung von Tschebyschew beweisen) $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Var_\theta(\theta_n)=0. [/mm] $
Glaub also schon, dass der Ansatz stimmen müsste.
Andere Frage: Gilt diese Bedingung dann auch umgekehrt (bräuchte das für ein anderes Beispiel): Also folgt aus $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Var_\theta(\theta_n)>0 [/mm] $ bereits, dass die Folge nicht konsistent ist?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Di 27.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
> Wir haben definiert: eine Schätzfolge [mm]T_n[/mm] ist konsistent,
> wenn gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P_\theta^n(|T_n(X_1,...,X_n)-\theta|> \epsilon)=0[/mm]
> usw.
Ich vermute, dass der Exponent [mm] $P^n(...)$ [/mm] falsch ist. Gemeint ist wohl $P(...)$.
>
> Hinreichende Bedingung dafür ist (lässt sich mit der
> Ungleichung von Tschebyschew beweisen)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} Var_\theta(\theta_n)=0.[/mm]
>
> Glaub also schon, dass der Ansatz stimmen müsste.
Ich glaube nicht, dass ihr das so bewiesen habt. Ich vermute vielmehr,
dass ihr voraussetzt, dass [mm] $\operatorname{MSE}_\theta[(T_n]=\operatorname{E}_\theta[(T_n-\theta)^2]\to0$ [/mm] fuer [mm] $n\to \infty$. [/mm] Siehe
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uah.edu/stat/point/Estimators.xhtml
insbesondere Satz 4 dort.
Das ist nur in Ausnahmefaellen dasselbe wie [mm] $\operatorname{Var}_\theta[T_n]$, [/mm] naemlich dann, wenn gilt
[mm] $\operatorname{E}_\theta[T_n]=\theta$. [/mm]
Also du willst nachweisen, dass
[mm] $P(-\varepsilon\le |T_n-N|\le+\varepsilon)=P(N-\varepsilon\le T_n\le N+\varepsilon)\to [/mm] 1$
f.a. [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $n\to\infty$. [/mm] Bringe diesen Ausdruck auf die Form
[mm] $P(a_n(\varepsilon)\le \frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le b_n(\varepsilon))$
[/mm]
und ueberzeuge dich davon [mm] $b_n(\varepsilon)\to [/mm] 1$ und
[mm] $a_n(\varepsilon)\to [/mm] 0$. Da [mm] $(S_n-np)/\sqrt{npq}$ [/mm] asymptotisch
standardnormalverteilt ist, folgt die Behauptung.
>
> Andere Frage: Gilt diese Bedingung dann auch umgekehrt
> (bräuchte das für ein anderes Beispiel): Also folgt aus
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} Var_\theta(\theta_n)>0[/mm] bereits,
> dass die Folge nicht konsistent ist?
Das ist ein neues Fass. Koenntest du es bitte in einem eigenen Thread aufmachen?
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Do 29.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Stimmt, ich hab die Vorraussetzung vergessen. Für eine Folge von asymptotisch erwartungstreuen (!) Schätzern, reicht es lim V = 0 zu zeigen.
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Ok, ich hab jetzt nochmal genauer nachgelesen. Für eine Folge von asymptotisch erwartungstreuen Schätzern reicht es zu zeigen, dass die Varianz mit wachsendem Stichprobenumfang gegen 0 geht.
Also muss ich zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E(s\bruch{n+1}{S_n+1})=N=\bruch{s}{p}.
[/mm]
und dann eben
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Var(s\bruch{n+1}{S_n+1})=0.
[/mm]
Die erste Aussage stimmt (da versuch ich gerade das Ergebnis, dass das Mathematica ausgespuckt hat nachzuvollziehen). Und die Varianz harrt noch immer einer geschickten Umformung.
Ich hab mittels einer Abschätzung erhalten, dass
[mm] E((s\bruch{n+1}{S_n+1})^2)=
[/mm]
[mm] s*(n+1)\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(k+1)^2}\vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}= [/mm] ...
[mm]
mit q:=1-p, was für n gegen unendlich schon mal gegen 0 strebt. Aber mit [mm] E(s\bruch{n+1}{S_n+1})=\bruch{s}{p}\not=0 [/mm] strebt die Varianz nun gegen [mm] -(\bruch{s}{p})^2, [/mm] was eindeutig kleiner als 0 ist.
Hab inzwischen nachgefragt. Das Beispiel soll nicht ganz leicht sein, aber der Lösungsweg ist ziemlich sicher der beschriebene.
Nach deinem Ansatz erhalte ich [mm] T_n [/mm] bezeichne meinen Schätzer [mm] \bruch{s(n+1)}{S_n+1}:
[/mm]
[mm] P(|T_n-N|>\varepsilon)
[/mm]
[mm] =1-P(|T_n-N|\leq\varepsilon)
[/mm]
[mm] =1-P(-\varepsilon\leq T_n-N \leq\varepsilon)
[/mm]
=...
[mm] =1-P(\bruch{s-np\varepsilon}{(\bruch{s}{p}+\varepsilon)\wurzel{npq}}\leq\bruch{S_n-np}{\wurzel{npq}}\leq\bruch{s+np\varepsilon}{(\bruch{s}{p}+\varepsilon)\wurzel{npq}})
[/mm]
= ???
Die linke und rechte Seite der Ungleichung gehen jetzt nach [mm] \pm\infty [/mm] statt nach 0 und 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Do 29.11.2007 | | Autor: | luis52 |
[mm]=1-P(\bruch{s-np\varepsilon}{(\bruch{s}{p}+\varepsilon)\wurzel{npq}}\leq\bruch{S_n-np}{\wurzel{npq}}\leq\bruch{s+np\varepsilon}{(\bruch{s}{p}+\varepsilon)\wurzel{npq}})[/mm]
> = ???
>
> Die linke und rechte Seite der Ungleichung gehen jetzt nach
> [mm]\pm\infty[/mm] statt nach 0 und 1.
Na, das ist doch wunderbar (du hast vermutlich das P(...) uebersehen):
[mm] $1-P(\bruch{s-np\varepsilon}{(\bruch{s}{p}+\varepsilon)\wurzel{npq}}\leq\bruch{S_n-np}{\wurzel{npq}}\leq\bruch{s+np\varepsilon}{(\bruch{s}{p}+\varepsilon)\wurzel{npq}})\to 1-\Phi(\bruch{s+np\varepsilon}{(\bruch{s}{p}+\varepsilon)\wurzel{npq}})-\Phi(\bruch{s-np\varepsilon}{(\bruch{s}{p}+\varepsilon)\wurzel{npq}})$
[/mm]
fuer [mm] $n\to \infty$. [/mm] Da dieser Ausdruck gegen 1-1-0=0 konvergiert, folgt die Behauptung.
lg Luis
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Danke für die Tipps. Geht wirklich leichter als die Varianz zu betrachten.
Hab ich das jetzt aber richtig hinbekommen? Siehe unten.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Fr 07.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Fr 30.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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