matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentialgleichungenKonsistenzbeweis Runge-Kutta
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Differentialgleichungen" - Konsistenzbeweis Runge-Kutta
Konsistenzbeweis Runge-Kutta < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konsistenzbeweis Runge-Kutta: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mi 27.08.2008
Autor: nicole16986

Aufgabe
Zeigen Sie, dass folgendes implizites Runge-Kutta-Verfahren der Stufe m=2 für die Anfangswertaufgabe u'(t)=f(t,u) [mm] t\ge t_0, u(t_0)=u_0, [/mm] die Konsistenzordnung p=2 hat:
0 | [mm] \bruch{1}{2}\quad -\bruch{1}{2} [/mm]
1 | [mm] \bruch{1}{2}\quad \bruch{1}{2} [/mm]
---------------------
  | [mm] \bruch{1}{2}\quad \bruch{1}{2} [/mm]

>>Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: wer-weiss-was.de<<

Welche Ansätze gibt es hier?
Ich habe schon probiert mit einer Taylorentwicklung zu arbeiten, nur leider kommt hinterher nicht raus [mm] \tau_h(t)=O(h^2), [/mm] wobei [mm] \tau_h [/mm] den Abschneidefehler bezeichnet. Ich behalte immer noch zwei Summanden mit f.

Kann mir jemand helfen?

Danke schon mal im Voraus,
nicole16986


        
Bezug
Konsistenzbeweis Runge-Kutta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Do 28.08.2008
Autor: Max1603


>  0 | [mm]\bruch{1}{2}\quad -\bruch{1}{2}[/mm]
>  1 | [mm]\bruch{1}{2}\quad \bruch{1}{2}[/mm]
>  ---------------------
>    | [mm]\bruch{1}{2}\quad \bruch{1}{2}[/mm]

ich weiß jetzt nicht was ihr in der Vorlesung gemacht habt, aber man kann die Ordnung der Konsistenz bereits an dem obigen Tableau ablesen.

da z. B. bei dem unteren Vektor [mm] b:=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}) [/mm] durch Addition der
Komponenten eins ergibt ist das Verfahren konsistent der ordnung ein.

da aber auch für c:=(0,1) und b "ausmultipliziert"(Skalarprodukt) 0,5 ergibt hat das Verfahren mind. die Konsistenzordung zwei!!

ist gibt noch viel mehr dieser Feststellungen!!!

Wenn ihr das nicht gemacht habt, dann Thaylor, sonst sehe ich keine andere Möglichkeit.
Mach doch ein Vorschlag, dann gucke ich es mir an :))

Bezug
                
Bezug
Konsistenzbeweis Runge-Kutta: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:52 Do 28.08.2008
Autor: nicole16986

Hallo,
das Problem ist, dass ich dieses Problem im Rahmen einer Seminararbeit bearbeiten muss und wir in der Vorlesung solche "Feststellungen" leider nur für m=2 und p=3 aufgeschrieben hatten, ich hab mal mit Taylor allgemein probiert, solche Gleichungen auch für p=2 aufzustellen, aber ich glaube, das ist falsch.
Folgendes hab ich gemacht:
Begriffe:
[mm] a)\tau_h(t)=\frac{1}{h}(u_h(t+h)-u_h(t))-f_h(t,u(t)),\ t\in [/mm] I'_h heißt Abschneidefehler zum Einschrittverfahren
[mm] u_h(t+h(t))=u_h(t)+h(t)f_h(t,u_h(t)) [/mm] mit der Verfahrensfunktion [mm] f_h [/mm] und nicht notwendigerweise äquidistanter Schrittweite h=h(t)
b) [mm] v_n^+ =\lim_{t\downarrow t_n} [/mm] v, [mm] \quad v_n^- =\lim_{t\uparrow t_n} [/mm] v
c) U ist die numerische Lösung mit Galerkin-Verfahren für obiges AWP (in der Aufgabe geht es darum, dass sich das Galerkin-Verfahren für einfache Probleme auf Einschrittverfahren wie das Runge-Kutta reduziert, daher die komische Bezeichnung)

Mein Vorgehen:
1) z.z.:  [mm] \tau [/mm] _h (t)= O [mm] (h^2) [/mm]
Bew.:
[mm] \tau_h(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{h_n}(U_n^- -U_{n-1}^-) [/mm]
[mm] \quad-\frac{1}{2}\Bigl[\Bigl( f(t_{n-1}, U_{n-1}^- +\frac{h_n}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^+) -\frac{h_n}{2}f(t_n,U_n^-)) [/mm]
[mm] \quad+ f(t_{n}, U_{n-1}^- +\frac{h_n}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^+) +\frac{h_n}{2}f(t_n,U_n^-)) \Bigr)\Bigr]\quad\tag{A} [/mm]
[mm] \text{mit (Taylor) }\frac{1}{h_n}(U_n^- -U_{n-1}^-) ={U'}_{n-1}^- [/mm] + [mm] \frac{h_n}{2}{U''}_{n-1}^- [/mm] + [mm] O(h^2),\;\text{für } U\in C^3, f\in C^2 [/mm]
[mm] \text{und } {U'}_{n-1}^- =f(t_{n-1},U_{n-1}^-),\, {U''}_{n-1}^- =\frac{d}{dt}f(t_{n-1},U_{n-1}^-)= (f_t [/mm] + [mm] f_U f)(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm]

Mittels Taylorentwicklung erhalten wir für f:
[mm] f(t_{n-1}, U_{n-1^-} +\frac{h_n}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^+) -\frac{h_n}{2}f(t_n,U_n^-)) [/mm]
[mm] =f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] \left\langle grad f, \left(0, \frac{h_n}{2}[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)-f(t_{n},U_{n}^-)]\right)^T \right\rangle [/mm]
= [mm] f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] f_U\cdot\frac{h_n}{2}[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)-f(t_{n},U_{n}^-)] [/mm]
[mm] f(t_{n}, U_{n-1^-} +\frac{h_n}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^+) +\frac{h_n}{2}f(t_n,U_n^-)) [/mm]
[mm] =f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] \left\langle grad f, \left(h_n, \frac{h_n}{2}[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)+f(t_{n},U_{n}^-)]\right)^T \right\rangle [/mm]
= [mm] f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] f_t h_n [/mm] + [mm] f_U\cdot\frac{h_n}{2}[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)+f(t_{n},U_{n}^-)] [/mm]
Einsetzen in (A) liefert:
[mm] \tau_h(t) [/mm] = [mm] f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] \frac{h_n}{2}(f_t [/mm] + [mm] f_u f)(t_{n-1},U_{n-1}^-)+ O(h^2) [/mm]
[mm] -\frac{1}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^-)-\frac{1}{2}\frac{h_n}{2}f_U[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)-f(t_{n},U_{n}^-)]\\ [/mm]
- [mm] \frac{1}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] - [mm] \frac{h_n}{2}f_t [/mm] - [mm] \frac{1}{2}\frac{h_n}{2}f_U[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)+f(t_{n},U_{n}^-)] [/mm]
= [mm] \frac{h_n}{2}f_U f(t_{n-1},U_{n-1}^-)- \frac{h_n}{2}f_U f(t_{n-1},U_{n-1}^+) [/mm] + [mm] O(h^2) [/mm]
[mm] \neq O(h^2)\quad??? [/mm]

oder
2)Wir leiten zunächst Bedingungen für die acht Koeffizienten [mm] \alpha_i, \beta_{i1}, \beta_{i2},\gamma_i,\, [/mm] i=1,2 her für das allgemeine zweistufige Runge-Kutta-Verfahren

[mm] k_1(t,y)=f(t+\alpha_1 [/mm] h, y+ [mm] h(\beta_{11}k_1+\beta_{12}k_2)(t,y)) [/mm]
[mm] k_2(t,y)=f(t+\alpha_2 [/mm] h, y+ [mm] h(\beta_{21}k_1+\beta_{22}k_2)(t,y)) [/mm]
[mm] U_n^- [/mm] = [mm] U_{n-1}^- [/mm] + [mm] h(\gamma_1 k_1+\gamma_2 k_2)(t,U_{n-1}^-) [/mm]

Der Einfachheit halber wählen wir folgende Bezeichnungen [mm] U_n^- =u_h(t+h_n),\, U_{n-1}^- =u_h(t). [/mm]
Durch Taylorentwicklung erhalten wir dann:

[mm] \frac{1}{h}(U(t+h_n) [/mm] + U(t)) = [mm] U'(t)+\frac{h}{2}U''(t)+O(h^2) [/mm]
= [mm] f(t,y)+\frac{h}{2}(f_t+f_y f)(t,y)+O(h^2) [/mm]

[mm] k_1=f(t+\alpha_1 [/mm] h, y + [mm] h(\beta_{11}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{12}k_2)(t,y)),\quad \underline{h}_1=h\left(\alpha_1, \beta_{11}k_1 + \beta_{12} k_2)\right)^T [/mm]
= f(t,y) + [mm] \langle [/mm] grad f(t,y), [mm] \underline{h}_1\rangle [/mm] + [mm] O(h^2) [/mm]
= f(t,y) + h [mm] \alpha_1 f_y(t,y) [/mm] + h [mm] f_y(\beta_{11}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{12} k_2) [/mm] (t,y) + [mm] O(h^2) [/mm]
[mm] k_2 [/mm] = f(t,y) + h [mm] \alpha_2 f_y(t,y) [/mm] + h [mm] f_y(\beta_{21}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{22} k_2) [/mm] (t,y) + [mm] O(h^2)\quad\text{analog} [/mm]

Für den Abschneidefehler ergibt sich nun:

[mm] \tau_h(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{h}(U(t+h)-U(t))-(\gamma_1 k_1 [/mm] + [mm] \gamma_2 k_2)(t,y) [/mm]
=f(t,y) - [mm] \frac{h}{2}(f_t [/mm] + f [mm] f_y)(t,y)+O(h^2) [/mm]
- [mm] \gamma_1 f(t,y)-h\gamma_1 \alpha_1 f_t [/mm] - [mm] \gamma_1\beta_{11} [/mm] h [mm] f_y k_1 [/mm] - [mm] \gamma_1\beta_{12} [/mm] h [mm] f_y k_2 [/mm]
- [mm] \gamma_2 f(t,y)-h\gamma_2 \alpha_2 f_t [/mm] - [mm] \gamma_2\beta_{21} [/mm] h [mm] f_y k_1 [/mm] - [mm] \gamma_2\beta_{22} [/mm] h [mm] f_y k_2 \stackrel{!}{=} O(h^2) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(t,y) - [mm] (\gamma_1 +\gamma_2)f(t,y) [/mm] + h [mm] f_t (\frac{1}{2}-\gamma_1\alpha_1-\gamma_2\alpha_2)+\frac{h}{2}f_y [/mm] f
- h [mm] k_1f_y(\gamma_1\beta_{11}+\gamma_2\beta_{21})-h k_2f_y(\gamma_1\beta_{12}+\gamma_2\beta_{22})=0 [/mm]

Koeffizientenvergleich liefert die zwei Gleichungen:
[mm] \gamma_1+\gamma_2 =1\quad\tag{1}, [/mm]
[mm] \gamma_1\alpha_1+\gamma_2\alpha_2=\frac{1}{2}\quad\tag{2} [/mm]

Von der Gleichung bleibt somit übrig:

h [mm] f_y \left( \frac{f}{2} - k_1(\gamma_1\beta_{11} +\gamma_2\beta_{21} - k_2(\gamma_1\beta_{12} +\gamma_2\beta_{22}\right)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{f}{2} [/mm] - [mm] k_1(\gamma_1\beta_{11} +\gamma_2\beta_{21}) [/mm] - [mm] k_2(\gamma_1\beta_{12} +\gamma_2\beta_{22})=0 \quad |\text{Taylor für }k_1,\, k_2 [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{f}{2} [/mm] -(f(t,y) + h [mm] \alpha_1 f_y(t,y) [/mm] + h [mm] f_y(\beta_{11}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{12} k_2) (t,y))(\gamma_1\beta_{11} +\gamma_2\beta_{21}) [/mm]
- (f(t,y) + h [mm] \alpha_2 f_y(t,y) [/mm] + h [mm] f_y(\beta_{21}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{22} k_2) (t,y))(\gamma_1\beta_{12} +\gamma_2\beta_{22})=0 [/mm]

Durch Koeffizientenvergleich von f erhält man:
[mm] \gamma_1(\beta_{11}+\beta_{12})+\gamma_2(\beta_{21}+\beta_{22}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\quad\tag{3} [/mm]

Von der Gleichung bleibt übrig:

[mm] [\alpha_1 f_t [/mm] + [mm] f_y(\beta_{11}k_1+ \beta_{12}k_2)](\gamma_1\beta_{11}+\gamma_2\beta_{21}) [/mm]
+ [mm] [\alpha_2 f_t [/mm] + [mm] f_y(\beta_{21}k_1+ \beta_{22}k_2)](\gamma_1\beta_{12}+\gamma_2\beta_{22})=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha_1(\gamma_1\beta_{11}+\gamma_2\beta_{21})=\alpha_2(\gamma_1\beta_{12}+\gamma_2\beta_{22})\quad\tag{4} [/mm]

Es bleibt übrig:

[mm] (\beta_{11}k_1+\beta_{12}k_2)(\gamma_1\beta_{11}+\gamma_2\beta_{21})+(\beta_{21}k_1+\beta_{22}k_2)(\gamma_1\beta_{12}+\gamma_2\beta_{22})=0\\ [/mm]
[mm] \Leftrightarrow k_1[\gamma_1\beta_{11}^2 [/mm] + [mm] \beta_{11}\gamma_2\beta_{21} [/mm] + [mm] \beta_{21}\gamma_1\beta_{12} [/mm] + [mm] \gamma_2\beta_{21}\beta_{22}] [/mm]
[mm] +k_2[\gamma_2\beta_{22}^2 [/mm] + [mm] \beta_{12}\gamma_2\beta_{21} [/mm] + [mm] \beta_{11}\gamma_1\beta_{12} [/mm] + [mm] \gamma_1\beta_{12}\beta_{22}]=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \gamma_1(\beta_{11}^2+\beta_{12}\beta_{21})+\gamma_2(\beta_{11}\beta_{21}+\beta_{21}\beta_{22})=0\quad \tag{5} [/mm]
[mm] \quad \gamma_1(\beta_{11}\beta_{12}+\beta_{12}\beta_{22})+\gamma_2(\beta_{12}\beta_{21}+\beta_{22}^2)=0 \quad \tag{6} [/mm]

Der Beweis ergibt sich dann durch nachrechnen der Gleichungen.


Irgendwie sieht das untere so zurecht gefuckelt aus, daher weiß ich nicht, ob das so geht.

nicole16986

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]