Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:44 Di 06.01.2009 | | Autor: | kuemmelsche |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}e^{-\wurzel[3]{n}} [/mm] auf Konvergenz! |
Hallo zusammen,
ich bin mir hier nicht sicher, ob mein Ansatz stimmt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}e^{-\wurzel[3]{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\wurzel[3]{n})^{k}}{k!}=\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k!}<\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k(k-1)}=\summe_{n=1}^{\infty}(1-\bruch{(\wurzel[3]{n})^{1}}{1}+\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k-1}-\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k})=\summe_{n=1}^{\infty}\limes_{k\rightarrow\infty}(1-\bruch{(\wurzel[3]{n})^{1}}{1}+\bruch{(\wurzel[3]{n})^{3}}{3!}-\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k!})
[/mm]
Ist das soweit richtig und nützlich?
Danke im Voraus!
lg Kai
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Hallo Kai,
> [mm] \summe_{n=1}^{\infty}e^{-\wurzel[3]{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\wurzel[3]{n})^{k}}{k!}=\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k!}<\summe_{n=1}^{\infty}\summe^{\infty}_{\red{k=0}}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k\red{(k-1)}}=\summe_{n=1}^{\infty}(1-\bruch{(\wurzel[3]{n})^{1}}{1}+\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k-1}-\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k})=\summe_{n=1}^{\infty}\limes_{k\rightarrow\infty}(1-\bruch{(\wurzel[3]{n})^{1}}{1}+\bruch{(\wurzel[3]{n})^{3}}{3!}-\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k!})[/mm]
[/mm]
>
> Ist das soweit richtig und nützlich?
An der roten Stelle stimmt noch etwas nicht. Da musst Du erst ein Glied aus der Summe herausziehen, bevor Du so verfahren darfst.
lg,
reverend
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Das hab ich doch gleich danach im folgenden Schritt, habs eben eins zu spät hingeschrieben, etwas ungeschickt, aber doch nicht falsch am Ende, oder?!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Di 06.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ich gestehe, dass mir die nächsten beiden Schritte vorerst undurchsichtig sind. Vielleicht brauche ich doch noch ein Blatt Papier...
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Na ich hab die Reihe auf eine Telespoksumme abgeschätzt, und von dieser bleibt nur das erste und letzte Glied übrig. D.h Am ende bleiben die ersten beiden Glieder übrig, da ich diese aus der Summe herausziehen muss, und dann noch das 3. und letzte. Im Grenzwertprozess wird der letzte Summand noch 0. Jetzt wollte ich die Konvergenzkriterien anwenden.
Ich weiß nicht ob die Umformung sein muss, aber ohne diese kam ich durch die Kriterien zu keiner wirklichen Lösung.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 Di 06.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ok, danke für die Erklärung. Das hilft ein bisschen.
Trotzdem komme ich noch nicht ganz dahinter. Mir fehlen da vielleicht Zwischenschritte, außerdem wahrscheinlich ein paar ordnende (und sonst womöglich redundante) Klammern. Vielleicht ist es auch einfach schon zu spät...
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[mm] >\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k!}<\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k(k-1)}
[/mm]
Hallo,
auch mir leuchtet dieser Schritt nicht ein.
Es ist doch
[mm] >\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k!}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}[(-1)^{0}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{0}}{0!} [/mm] + [mm] (-1)^{1}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{1}}{1!} [/mm] + [mm] (-1)^{2}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{2}}{2!} [/mm] + [mm] (-1)^{3}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{3}}{3!} [/mm] + ...]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}[1 -\bruch{(\wurzel[3]{n})^{1}}{1!} +\bruch{(\wurzel[3]{n})^{2}}{2!} -\bruch{(\wurzel[3]{n})^{3}}{3!} [/mm] +- ...]
Du schätzt nun ab ...< [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(\wurzel[3]{n})^{k}}{k(k-1)},
[/mm]
und selbst, wenn ich jetzt mal kurz die Problematik des Dividierens durch die Null bei den ersten beiden Summanden ausblende, ist das doch nicht richtig:
ich verstehe, daß [mm] \bruch{1}{k!}\le \bruch{1}{k(k-1)} [/mm] richtig ist.
Nicht richtig ist jedoch [mm] -\bruch{1}{k!}\le -\bruch{1}{k(k-1)}, [/mm] und hier sehe ich ein Problem, es sei denn, Du verwendest noch irgendwas Geheimes, was ich nicht sehe.
Gruß v. Angela
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