matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz
Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Mi 02.03.2011
Autor: David90

Aufgabe
Wahr oder falsch? Geben Sie bei wahren Aussagen eine Begründung, bei falschen Aussagen ein passendes Gegenbeispiel an.
c) Die Menge { [mm] \bruch{1}{k} [/mm] | k [mm] \in \IN [/mm] \ {0} } ist kompakt.

Also kompakt heißt ja abgeschlossen und beschränkt. Also beschränkt ist sie auf jeden Fall, weil die Folge kann nur [mm] \le [/mm] 1 sein. Und abgeschlossen müsste sie auch sein, weil sie ja alle Randpunkte enthält. Folglich ist sie kompakt und die Aussage ist richtig. Hab ich Unrecht?
Gruß David

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Mi 02.03.2011
Autor: Lippel

Hallo,

> Wahr oder falsch? Geben Sie bei wahren Aussagen eine
> Begründung, bei falschen Aussagen ein passendes
> Gegenbeispiel an.
>  c) Die Menge [mm] $\{ \bruch{1}{k} \: | k \:\in \IN \ {0} \}$ [/mm] ist
> kompakt.
>  Also kompakt heißt ja abgeschlossen und beschränkt. Also
> beschränkt ist sie auf jeden Fall, weil die Folge kann nur
> [mm]\le[/mm] 1 sein. Und abgeschlossen müsste sie auch sein, weil
> sie ja alle Randpunkte enthält. Folglich ist sie kompakt
> und die Aussage ist richtig. Hab ich Unrecht?

Ich nehme an du sollst die Menge als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] betrachten, das müsste eigentlich dabei stehen.

Du hast Unrecht. Zwei Möglichkeiten das zu zeigen:
1. Eine Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist ja genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Bezeichne [mm] $C\:$ [/mm] das Komplement der betrachteten Menge, dann gilt $0 [mm] \in [/mm] C$. Es existiert jedoch kein [mm] $\epsilon [/mm] > 0: [mm] K_\epsilon(0) \subset [/mm] C$ (kannst du das zeigen?). Damit ist [mm] $C\:$ [/mm] nicht offen, also die von dir betrachtete Menge nicht abgeschlossen.
2. Jede Folge in einem Kompaktum besitzt einen Häufungswert, der zum Kompaktum gehört. Bezeichne [mm] $K\:$ [/mm] die von dir betrachtete Menge. Dann ist die Folge [mm] $\left(\frac{1}{k}\right)_{k \in \IN}$ [/mm] ganz in K enthalten. Ihr einziger Häufungspunkt 0 liegt jedoch nicht in K. Damit ist K nicht kompakt.

LG Lippel


Bezug
                
Bezug
Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:35 Do 03.03.2011
Autor: David90

Also das mti dem Komplemet ist schon ein guter Beweis. Also, da die Null in der Folge nicht enthalten ist, muss sie im Komplement sein, das leuchtet mir ein. Nur nochmal zum Verständnis, der Rand dieser Menge ist die 0 aber auch die 1 oder? Ich versteh jetzt nich warum es kein [mm] \epsilon [/mm] > 0: [mm] K_\epsilon(0) \subset [/mm] C gibt. Und was hat das mit dem Beweis zu tun? Man muss doch nur zeigen, dass die Menge nicht alle ihre Randpunkte enthält oder? Also, dass 0 [mm] \not\in [/mm] der Menge ist richtig?:O

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Do 03.03.2011
Autor: kamaleonti

Hi David,
> Also das mti dem Komplemet ist schon ein guter Beweis.
> Also, da die Null in der Folge nicht enthalten ist, muss
> sie im Komplement sein, das leuchtet mir ein. Nur nochmal
> zum Verständnis, der Rand dieser Menge ist die 0 aber auch
> die 1 oder?

Richtig. Die 1 gehört offensichtlich zur Menge K=$ [mm] \{ \bruch{1}{k} \: | k \:\in \IN \ {0} \} [/mm] $, also ist die 0 interessant.

> Ich versteh jetzt nich warum es kein [mm]\epsilon[/mm] >
> 0: [mm]K_\epsilon(0) \subset[/mm] C gibt. Und was hat das mit dem
> Beweis zu tun?

Es soll gezeigt werden, dass die Komplementmenge C offen ist. Das 0 zu C gehört ist klar. Damit C offen ist, muss 0 ein innerer Punkt von C sein, denn andernfalls liegt 0 auf dem Rand und somit wäre C nicht offen.
Wenn es eine [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um 0 in der Komplementmenge gäbe (nichts anderes bedeutet die Schreibweise [mm] $K_\epsilon(0) \subset [/mm] C$), so wäre gezeigt, dass 0 kein Randpunkt von C sein kann, da dann 0 von Punkten der Menge umgeben wäre.
Es soll gezeigt werden, dass es keine solche Kugel gibt. Dazu Widerspruchsbeweis.
Angenommen es gäbe ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit [mm] $K_\epsilon(0) \subset [/mm] C$. Dann musst zu zeigen, dass auch in dieser speziellen Kugel [mm] K_\epsilon(0) [/mm] ein Wert liegt, der nicht zum Komplement C gehört.

> Man muss doch nur zeigen, dass die Menge
> nicht alle ihre Randpunkte enthält oder? Also, dass 0
> [mm]\not\in[/mm] der Menge ist richtig?:O

Das ist die 2. Variante, die Lippel vorgeschlagen hat. Es ist dir überlassen, was du zeigst, die Beweise sind am Ende gleichwertig.

Gruß

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]