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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Di 05.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Überprüfe auf Konvergenz:
[mm] $\sum_{n = 1}^{\infty} |\sqrt[n]{n^2}|$ [/mm] |
Ich möchte ja die oben gegebene Reihe auf konvergenz überprüfen. Nun ist es so, dass ich das Wurzel- und Quotientenkriterium kenne. Wie aber wende ich das hier nun an? Ich hab gelernt, dass ich vor der Auswahl des Kriteriums das "notwende Kriterium" durchführen muss welches ja so definiert ist:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left( |a_n| \right) [/mm] = 0 $
Wenn ich diese "notwendige Kriterium" nun auf meine Aufgabe anwenden, dann sieht das so aus:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left( |a_n| \right) =\lim_{n \to \infty} \left( |\sqrt[n]{n^2}| \right) [/mm] = ... = [mm] \lim_{n \to \infty} \left( |n^{\frac{2}{n}}| \right)$
[/mm]
Was ist aber nun das Ergebnis des "notwendigen Kriteriums"? Wenn nun n gegen unendlich geht, dann geht ja der Exponent gegen 0. Die Basis geht ebenfalls gegen unendlich. Dann hätte ich ja quasi "unendlich hoch 0". Gilt hier dann auch, dass " 'irgendetwas' hoch 0" gleich 1 ist? Oder geht dann das trotzdem gegen unendlich?
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Hallo bandchef,
> Überprüfe auf Konvergenz:
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> [mm]\sum_{n = 1}^{\infty} |\sqrt[n]{n^2}|[/mm]
> Ich möchte ja die
> oben gegebene Reihe auf konvergenz überprüfen. Nun ist es
> so, dass ich das Wurzel- und Quotientenkriterium kenne. Wie
> aber wende ich das hier nun an? Ich hab gelernt, dass ich
> vor der Auswahl des Kriteriums das "notwende Kriterium"
> durchführen muss welches ja so definiert ist:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \left( |a_n| \right) = 0[/mm]
>
> Wenn ich diese "notwendige Kriterium" nun auf meine Aufgabe
> anwenden, dann sieht das so aus:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \left( |a_n| \right) =\lim_{n \to \infty} \left( |\sqrt[n]{n^2}| \right) = ... = \lim_{n \to \infty} \left( |n^{\frac{2}{n}}| \right)[/mm]
>
> Was ist aber nun das Ergebnis des "notwendigen Kriteriums"?
> Wenn nun n gegen unendlich geht, dann geht ja der Exponent
> gegen 0. Die Basis geht ebenfalls gegen unendlich. Dann
> hätte ich ja quasi "unendlich hoch 0". Gilt hier dann
> auch, dass " 'irgendetwas' hoch 0" gleich 1 ist? Oder geht
> dann das trotzdem gegen unendlich?
Man weiss, daß [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}=1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Di 05.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Wie kann ich dann das auf $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^2} [/mm] $ anwenden? Is ja doch was anderes...
Vor allem, angenommen, dass dann wieder 1 rauskommt, dann hat doch das notwendige Kriterium fehlgeschlagen, oder? Da muss doch 0 rauskommen, oder? Greifen bei einer 1 die beiden nachfolgenden Kriterien dann nicht mehr?
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Hallo bandchef,
> Wie kann ich dann das auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^2}[/mm] anwenden? Is ja
> doch was anderes...
Also wirklich!
Wie wäre es, wenn du etwas nachdenkst??
Was sagen die Potenzgesetze aus der Unterstufe?
[mm]\sqrt[n]{n^2}=n^{\frac{2}{n}}=\left[n^{\frac{1}{n}}\right]^2=\left( \ \sqrt[n]{n} \ \right)^2=\sqrt[n]{n}\cdot{}\sqrt[n]{n}[/mm]
Was sagen die Grenzwertsätze?
>
> Vor allem, angenommen, dass dann wieder 1 rauskommt, dann
> hat doch das notwendige Kriterium fehlgeschlagen, oder? Da
> muss doch 0 rauskommen, oder?
Für mögliche Konvergenz!
Wenn aber [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq 0[/mm], dann ist [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] sicher divergent!
Was ist hier also los?
> Greifen bei einer 1 die
> beiden nachfolgenden Kriterien dann nicht mehr?
Welche nachfolgenden Kriterien?
Hier ist Ende der Frage. Ich sehe nix, dass noch nachkommt, insbesondere keine Kriterien ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 05.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Naja du schreibst ja selbst: "Für MÖGLICHE Konvergenz!"
Damit ich die Konvergenz dann gänzlich "beweisen" kann, muss ich doch noch das Wurzel- oder Quotientenkriterium machen, oder?
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Huhu,
wie willst du eine "mögliche Konvergenz" denn beweisen, wenn das NOTWENDIGE Kriterium [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gar nicht erfüllt ist?
Was bedeutet es denn, wenn das NOTWENDIGE Kriterium nicht erfüllt ist?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 05.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Da hier das "notwendige Kriterium" nicht erfüllbar ist (da das Ergebnis nicht 0 sondern 1 ist!) kann keine Konvergenz auftreten, sondern die Reihe ist divergent!
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Das ist so richtig! Daher ist es müßig über jegliche anderen Kriterien nachzudenken.
Gruß
Loddar
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