Konvergenz Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Do 19.10.2006 | | Autor: | Phecda |
hi
ich habe die Funktion [mm] f_{n}=nxe^{-nx} [/mm] für 0 größergleich x kleinergleich 1
mit dem quotientenkriterium bekommt man (n+1)e^(-x)/n
somit gilt, dass die funkionsreihe konvergiert. nur wie findet man (auch generell) heraus gegen welche funktion?
Und was meint man damit wenn man fragt ob die Konvergenz "gleichmäßig" ist?
danke
mfg phecda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:48 Fr 20.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo!
Achtung, das Qoutienkriterium sagt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_n}= [/mm] q < 1 sein muss, damit [mm] a_n [/mm] konvergiert...hier aber gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)*e^{-x}}{n} [/mm] = 1
Dh, das QR liefert dir keine Aussage, jedoch gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{nx}{e^{nx}} [/mm] = 0
Also hast du eine Grenzfunktion f(x)=0 gefunden
Grüße,
DesterX
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Hallo Phecda,
es heisst, eine Funktion konvergiert punktweise gegen eine andere, wenn gilt:
[mm]\forall_{\varepsilon >0} \forall_x \exists_{n_0} \forall_{n \ge n_0}: |f_n - f| < \varepsilon [/mm] (1)
Die Definition dürfte dir, aus der "normalen" Grenzwertdefinition für Folgen bekannt vorkommen, es ist letztendlich auch nichts anderes.
Gleichmäßige Konvergenz liegt vor, wenn gilt:
[mm]\forall_{\varepsilon >0} \exists_{n_0} \forall_x \forall_{n \ge n_0}: |f_n - f| < \varepsilon [/mm] (2)
Wie du siehst, wurden hier die Quantoren für das x und das [mm] n_0 [/mm] einfach vertauscht. Somit bedeutet das anschaulich, daß das zu findende [mm] n_0 [/mm] nicht mehr von der Wahl des x abhängig ist.
Einen Kandidaten für den punktweisen Grenzwert f findest du wie folgt: [mm]f(x) := \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)[/mm].
D.h. du guckst für alle x, was da für ein Grenzwert rauskommt und definierst so genau deine Grenzfunktion. Dann zeigst du anhand der Definition, daß es sich um einen Grenzwert (bzw. glm. Grenzwert) handelt.
Um zu zeigen, daß eine Funktion ein nicht-glm. Grenzwert ist, müsstest du erst zeigen, das (1) gilt und dann, daß (2) nicht gilt.
Gruß,
Gono.
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