Konvergenz Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Untersuche die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
auf Konvergenz |
Also die Folge
[mm] \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
ist ja eine alternierende Nullfolge.
Jetzt kann ich doch versuchen das Majorantenkriterium anzuwenden in dem ich sage:
[mm] |\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}| \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
und wie würde ich jetzt weiter machen? Ich hab mit dem Gedanken gespielt so weiter zu machen
[mm] \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+1)^{2}} \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{n^{2}}
[/mm]
oder wie würde ich das machen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Do 05.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo al3pou!
Bei einer alternierenden Reihe sollte man zunächst an Herrn Leibniz und sein Kriterium denken.
Du versuchst hier gar die absolute Konvergenz der genannten Reihe nachzuweise, was schwer fallen wird.
Auch Deine Abschätzung ganz am Ende lässt sich leider nicht nachvollziehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Also würde es schon reichen, wenn ich den Grenzwert der Folge untersuche (Monotonie muss ja nicht untersucht werden, weil man sieht, dass es sich um eine monoton fallende Folge handelt)und dann auf das Leibniz-Kriterium verweise?
|
|
|
| |
|
Hallo,
du solltest schon sauber argumentieren. Welche Bedingung muss [mm] a_k [/mm] erfüllen, damit [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i*a_k [/mm] konvergiert?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
also ich würde schreiben:
Die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
konvergiert.
Es handelt sich um eine alternierende Reihe der Form
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} [/mm]
handelt.
Da [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist und monoton fällt
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{n+1} [/mm] < [mm] \wurzel{n+2}
[/mm]
n + 1 < n + 2
1 < 2,
handelt es sich nach dem Leibniz-Kriterium um eine konvergente Reihe.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, ich glaube, jetzt kann man nichts mehr daran aussetzen. 
Gruß, Diophant
|
|
|
|
