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Hallo Leute!
Im Zusammenhang mit Elliptischen Funktionen wird die Weierstraß'sche p-Funktion eingeführt.
Bei der Herleitung wird folgende Doppelreihe betrachtet:
[mm] \sum_{m,n\in\IZ \times \IZ, (m,n)\neq(0,0)}\bruch{1}{(m^2+n^2)^\alpha}, \alpha\in \IR. [/mm]
Es wird behauptet, dass diese Reihe genau dann konvergiert, wenn [mm] \alpha [/mm] >1. Ich sehe das überhaupt nicht..
"Bewiesen" wird das darüber, dass sie sagen, dass die Konvergenz dieser Folge äquivalent dazu ist, dass das uneigentliche Integral [mm] I=\integral_{x^2+y^2\geq 1}\bruch{dx dy}{(x^2+y^2)^\alpha} [/mm] existiert.
Nun sehe ich aber die Äquivalenz überhaupt nicht. Gefühlt würde ich sagen, dass wenn I exisitiert, die Reihe konvergiert, aber umgekehrt?! Und selbst für diese Richtung kann ich nicht sauber argumentieren.
Die Konvergenz von I ergibt sich mit Polarkoordinaten.
Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen? Vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 20.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Fr 28.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Im Zusammenhang mit Elliptischen Funktionen wird die
> Weierstraß'sche p-Funktion eingeführt.
> Bei der Herleitung wird folgende Doppelreihe betrachtet:
> [mm]\sum_{m,n\in\IZ \times \IZ, (m,n)\neq(0,0)}\bruch{1}{(m^2+n^2)^\alpha}, \alpha\in \IR.[/mm]
> Es wird behauptet, dass diese Reihe genau dann konvergiert,
> wenn [mm]\alpha[/mm] >1. Ich sehe das überhaupt nicht..
> "Bewiesen" wird das darüber, dass sie sagen, dass die
> Konvergenz dieser Folge äquivalent dazu ist, dass das
> uneigentliche Integral [mm]I=\integral_{x^2+y^2\geq 1}\bruch{dx dy}{(x^2+y^2)^\alpha}[/mm]
> existiert.
> Nun sehe ich aber die Äquivalenz überhaupt nicht. Gefühlt
> würde ich sagen, dass wenn I exisitiert, die Reihe
> konvergiert, aber umgekehrt?! Und selbst für diese Richtung
> kann ich nicht sauber argumentieren.
Kennst du das [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium]Integralkriterium[/mm] fuer Reihen?
Fuer "zweidimensionale" Reihen sollte das genauso gehen. Zumindest wenn du das Prinzip im eindimensionalen verstanden hast, wirst du das hier sicher auch besser verstehen koennen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Fr 28.11.2008 | | Autor: | konfuzius |
Hey!
Ich kenne das Kriterium zwar nicht unter diesem Namen, aber ja, es ist mir schon mal begegnet. Im 1-Dimensionalen Fall ist es mir sofort klar, und damit werde ich auch den 2-Dimensionalen Fall einsehen können.
Vielen Dank! Manchmal ist es doch einfacher, als man befürchtet ;)
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