Konvergenz untersuchen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Fr 26.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Ich soll die folgenden Reihen auf Konvergenz untersuchen, dennoch weiß ich nicht, welches Konvergenz-Kriterium ich jeweils anwenden soll.
Kann mir bitte jemand erklären, woran ich sehen kann, wann und wo ich welches Kriterium verwenden soll?
Folgende Reihen sind zu untersuchen:
(a) [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ (n!)^{2}}{(2n)!}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \vektor{2n \\ n} 9^{-n}
[/mm]
Bei der (a) habe ich es mit Quotientenkriterium versucht, wobei [mm] \bruch{1}{2} [/mm] meine Majorante ist. Ist das richtig?
Bei der (b) komm ich mit Quotientenkriterium nicht weiter. Wie schreibe ich den Term um?
Danke.
Destiny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Destiny!
Nicht verzweifeln...
Wendet man auf die erste Reihe das Quotientenkriterium an, so erhält man:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}$
[/mm]
und
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}<1$.
[/mm]
Bei der zweiten Reihe hat man
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{1}{9} \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1}$
[/mm]
imd
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{4}{9} [/mm] < 1$.
Beide Reihen konvergieren also nach dem Quotientenkriterium.
Übrigens: Es gibt keine Patentrezepte... ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Sa 27.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Danke für Ihre Hilfe. Allerdings hätte ich da noch einige Frage zu Ihrer Lösung.
Ich hab die Aufgabe a genauso wie Sie, allerdings habe ich
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gesetzt, anstatt [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] wie Sie es gemacht haben. Ist das auch richtig, da [mm] \bruch{1}{4} \le \bruch{1}{2} [/mm] ist?
dann zur aufgabe b)
Ich weiß nicht, ob ich verrechnet habe oder nicht, aber ich kriege für
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{9} \bruch{2n+1}{n+1} [/mm] raus, nachdem ich viel rumgekürzt habe und so.
Wenn ich dann den limes von diesem Term nehme, bekomme ich aber auch wie Sie [mm] \bruch{4}{9} [/mm] raus.
Habe ich bei der Umformung einen Fehler gemacht?
Danke schön!
Destiny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo destiny!
Hier im Matheraum wird ein "du" gepflegt. 
> Ich hab die Aufgabe a genauso wie Sie, allerdings habe
> ich
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] gesetzt,
Ich habe das ja nicht gesetzt, sondern gezeigt, dass
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
ist. Daraus folgt dann: Für ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{4} [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] < 1$ gibt es ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] < 1$
für alle $n [mm] \ge n_0$, [/mm] und das bedeutet nach dem Quotientenkriterium, dass die Reihe konvergiert. Wenn du jetzt direkt gezeigt hast, dass
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{1}{2} [/mm] < 1$
ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] gezeigt hast, dann ist das auch richtig.
> dann zur aufgabe b)
> Ich weiß nicht, ob ich verrechnet habe oder nicht, aber
> ich kriege für
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{9} \bruch{2n+1}{n+1}[/mm]
> raus, nachdem ich viel rumgekürzt habe und so.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich dann den limes von diesem Term nehme, bekomme ich
> aber auch wie Sie [mm]\bruch{4}{9}[/mm] raus.
> Habe ich bei der Umformung einen Fehler gemacht?
Ich habe genau das Gleiche gemacht.
Liebe Grüße
Stefan
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