Konvergenz von Dezimalbrüchen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Do 23.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Wann konvergieren zwei unendliche Dezimalbrüche [mm] k_{0}, k_{1} k_{2}.... [/mm] und [mm] m_{0}, m_{1} m_{2}.... [/mm] gegen dieselbe reelle Zahl?
|
Hallo!
Bei dieser Aufgabe gibt es generell doch zwei Fälle, oder?
1. Fall: Die Dezimalbrüche sind gleich. Dann konvergieren sie auch gegen dieselbe reelle Zahl
2. Fall: Die Dezimalbrüche sind verschieden. Ein Bsp hierfür wäre 1,0 und 0,9999999.... Diese beiden Dezimalbrüche konvergieren ja gegen 1. Hab ich das richtig verstanden? Aber wie kann ich das jetzt mathematisch aufschreiben und beweisen? Hierzu fehlt mir irgendwie ein Ansatz!
Wär lieb von euch, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet!
LG Leni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Fr 24.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Leni
wenn die 2 Zahlen gegen r konv. dürfen sie sich ab einem N nicht mehr als ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] >0 von r unterscheiden. das geht aber nur, wenn es ein N gibt, so dass sich die 2 Zahlen nicht mehr als [mm] 2*\varepsilon [/mm] ab einem N unterscheiden. da ich [mm] 2*\varepsilon =10^{-n} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] wählen kann durfen sie sich nicht mehr unterscheiden. das geht nur, wenn die ersten n-1 Stellen gleich sind, und sie sich danach um maximal 1 in der n-ten stelle unterscheiden.d.h. es gibt falls sie nicht identisch sind immer eine Stelle, ab der die eine nur 9en ,die andere nur 0 hat.(natürlich kann das auch erst in der [mm] 10^{100} [/mm] ten Stelle passieren) die erste nicht identische Stelle der einen ist dann 1größer als die der anderen, bei der ersten folgen 0en bei der 2 ten 9en.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Leduart!
Vielen Dank. Ich glau ich hab das jetzt verstanden. Kann man das auch noch igrendwie mathemaisch ausdrücken oder meinst du eine einfache Erklärung reicht aus?
LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 24.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
etwas formaler muss man das schon ausdrücken. z. Bsp. ( ich nenn die Dinger [mm] A_n,M_n) [/mm] GW G.
es gibt ein N1 mit [mm] |A_n-G|< \varepsilon [/mm] für n>N1
es gibt ein N2 mit [mm] |M_n-G|< \varepsilon [/mm] für n>N2
daraus folgern es gibt ein N=(maxN1,N2) mit [mm] |A_n-M_n|< [/mm] 2 varepsilon
usw.
und dann angenommen [mm] A_n ,M_n [/mm] unterscheiden sich in den ersten n-1 Gliedern, dann folgt [mm] |A_k-M_k|>10^{n-1} [/mm] für alle k>n usw.
also das was ich gesagt hab genauer aufschreiben.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 So 26.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Leduart!
> und dann angenommen [mm]A_n ,M_n[/mm] unterscheiden sich in den
> ersten n-1 Gliedern, dann folgt [mm]|A_k-M_k|>10^{n-1}[/mm] für alle
> k>n usw.
Ich versteh noch nicht ganz, was du hiermit meinst. Du willst hier zeigen, dass die beiden Dezimalbrüche nicht gegen denselben Wert konvergieren können, wenn sie sich in den ersten n-1 Stellen unterscheiden, oder? Aber wieso schreibst du dann für k>n, weil die ersten n-1 Stellen sind doch kleiner als n. Und warum ist der Betrag größer als [mm] 10^{n-1}[/mm], [/mm] wir wollten [mm] \varepsilon [/mm] doch als [mm] 10^{-n} [/mm] wählen, dann wäre der Betrag doch größer als [mm] 10^{-n-1}, [/mm] oder?
LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 28.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
