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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Do 30.12.2010
Autor: Roccoco

Aufgabe
Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:

[mm] 1.)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3} [/mm]

[mm] 2.)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)^2} [/mm]

[mm] 3.)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{\sqrt n}{n+1} [/mm]

Hallo!:-)
Ich habe mich mal an den Aufgaben versucht und bin mir nicht sicher, ob ich das so richtig gemacht habe:
Also bei 1.) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3} [/mm] habe ich einfach das Majorantenkriterium für Reihen verwendet, denn

[mm] \bruch{1}{n^2+3}<\bruch{1}{n^2} [/mm]

Und  [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^q} [/mm] ist nach der Vorlesung eine konvergente Reihe für q>1.

Bei 2.) habe ich das Quotientenkriterium benutzt:

[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)^2} [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{((n+1)!)^2*(2n)!}{(2(n+1))!*(n!)^2} \right| [/mm]

= ... = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{n+1}{(2(2n+1))} \right| [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{n+1}{(2n+1)} \right| [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{1+\bruch{1}{n}}{(2+\bruch{1}{n})} \right| [/mm]

= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] < 1

Bei der [mm] 3.)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{\sqrt n}{n+1}wollte [/mm] ich mit dem Leibniz-Kriterium argumentieren.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{\sqrt n}{n+1} [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt n}{n+1} [/mm]

= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt n*\sqrt n}{(n+1)*\sqrt n} [/mm]

= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n*\sqrt n+\sqrt n} [/mm]

= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\sqrt n+\bruch{\sqrt n}{n}} [/mm] = 0

Also [mm] a_n [/mm] ist schonmal ein Nullfolge.

Jetzt muss ich noch zeigen, dass sie monoton fallend ist.
Also [mm] n_1a_n_2 [/mm]
Wähle [mm] n_1= [/mm] n und [mm] n_2=n+1 [/mm]

[mm] \bruch{\sqrt n}{n+1}>\bruch{\sqrt {n+1}}{n+2} [/mm]

[mm] \Rightarrow \bruch{n}{(n+1)^2}>\bruch{n+1}{(n+2)^2} [/mm]

[mm] \Rightarrow n(n^2+4n+4)>(n+1)(n^2+2n+1) [/mm]

[mm] \Rightarrow ...\Rightarrow n^2+n>1 [/mm] und das stimmt denn n [mm] \in\IN. [/mm] Also stimmt die ganze Gleichung und [mm] a_n [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge und deswegen konvergiert die Reihe nach Leibniz.
Kann ich so zeigen, dass eine Folge monoton fallend ist? Oder geht das noch irgendwie anders?

Wäre sehr dankbar, wenn jemand drüberschauen könnte :-)

Liebe Grüße
Roccoco


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Do 30.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Roccoco,

> Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
>
> [mm]1.)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3}[/mm]
>
> [mm]2.)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)^2}[/mm]
>
> [mm]3.)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{\sqrt n}{n+1}[/mm]

Pass mit dem Laufindex auf! Der ist doch n und nicht i!


>
> Hallo!:-)
> Ich habe mich mal an den Aufgaben versucht und bin mir
> nicht sicher, ob ich das so richtig gemacht habe:
> Also bei 1.) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3}[/mm] habe
> ich einfach das Majorantenkriterium für Reihen verwendet,
> denn
>
> [mm]\bruch{1}{n^2+3}<\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> Und [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^q}[/mm] ist nach der
> Vorlesung eine konvergente Reihe für q>1. [ok]
>
> Bei 2.) habe ich das Quotientenkriterium benutzt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{((n+1)!)^2*(2n)!}{(2(n+1))!*(n!)^2} \right|[/mm]

Nach dem, was in der Reihe steht, stimmt dieser Ausdruck nicht.

Steht da nun [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)^{\red{2}}}[/mm] oder [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)\red{!}}[/mm] ??

>
> = ... = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{n+1}{(2(2n+1))} \right|[/mm] [ok] im zweiten Falle ...


>
> = [mm]\bruch{1}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{n+1}{(2n+1)} \right|[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{1+\bruch{1}{n}}{(2+\bruch{1}{n})} \right|[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] < 1 [ok]

Also ...


>
> Bei der [mm]3.)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{\sqrt n}{n+1}wollte[/mm]
> ich mit dem Leibniz-Kriterium argumentieren. [ok]
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{\sqrt n}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt n}{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt n*\sqrt n}{(n+1)*\sqrt n}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n*\sqrt n+\sqrt n}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\sqrt n+\bruch{\sqrt n}{n}}[/mm]
> = 0
>
> Also [mm]a_n[/mm] ist schonmal ein Nullfolge. [ok]
>
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass sie monoton fallend ist.
> Also [mm]n_1a_n_2[/mm]
> Wähle [mm]n_1=[/mm] n und
> [mm]n_2=n+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\sqrt n}{n+1}>\bruch{\sqrt {n+1}}{n+2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{n}{(n+1)^2}>\bruch{n+1}{(n+2)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow n(n^2+4n+4)>(n+1)(n^2+2n+1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow ...\Rightarrow n^2+n>1[/mm]

Du solltest aber Äquivalenzumformungen machen, schließlich gehst du von dem aus, was zu zeigen ist ...

> und das stimmt denn n
> [mm]\in\IN.[/mm] Also stimmt die ganze Gleichung und [mm]a_n[/mm] ist eine
> monoton fallende Nullfolge und deswegen konvergiert die
> Reihe nach Leibniz. [ok]
> Kann ich so zeigen, dass eine Folge monoton fallend ist?
> Oder geht das noch irgendwie anders?

Nun, anstatt [mm]a_{n+1}

>
> Wäre sehr dankbar, wenn jemand drüberschauen könnte :-)
>
> Liebe Grüße
> Roccoco
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Do 30.12.2010
Autor: Roccoco

  
Oh ja stimmt. durch das viele "Kopieren" hat sich das i mit reingeschlichen

> Steht da nun
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)^{\red{2}}}[/mm]
> oder [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)\red{!}}[/mm]
> ??

Oh entschuldige da soll stehen
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)\red{!}}[/mm]

> ??


> >
> > = ... = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{n+1}{(2(2n+1))} \right|[/mm]
> [ok] im zweiten Falle ...
>  
>
> >
> > = [mm]\bruch{1}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{n+1}{(2n+1)} \right|[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{1}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{1+\bruch{1}{n}}{(2+\bruch{1}{n})} \right|[/mm]
>  
> >
> > = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] < 1 [ok]
>  
> Also ...
>  
>
> >
> > Bei der [mm]3.)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{\sqrt n}{n+1}wollte[/mm]
> > ich mit dem Leibniz-Kriterium argumentieren. [ok]
>  > [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{\sqrt n}{n+1}[/mm]

>  >

> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt n}{n+1}[/mm]
> >
> > = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt n*\sqrt n}{(n+1)*\sqrt n}[/mm]
>  
> >
> > = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n*\sqrt n+\sqrt n}[/mm]
>  
> >
> > = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\sqrt n+\bruch{\sqrt n}{n}}[/mm]
> > = 0
>  >

> > Also [mm]a_n[/mm] ist schonmal ein Nullfolge. [ok]
>  >

> > Jetzt muss ich noch zeigen, dass sie monoton fallend ist.
>  > Also [mm]n_1a_n_2[/mm]

>  > Wähle [mm]n_1=[/mm] n

> und
> > [mm]n_2=n+1[/mm]
>  >

> > [mm]\bruch{\sqrt n}{n+1}>\bruch{\sqrt {n+1}}{n+2}[/mm]
>  >

> > [mm]\Rightarrow \bruch{n}{(n+1)^2}>\bruch{n+1}{(n+2)^2}[/mm]
>  >

> > [mm]\Rightarrow n(n^2+4n+4)>(n+1)(n^2+2n+1)[/mm]
>  >

> > [mm]\Rightarrow ...\Rightarrow n^2+n>1[/mm]
>
> Du solltest aber Äquivalenzumformungen machen,
> schließlich gehst du von dem aus, was zu zeigen ist ...
>  
> > und das stimmt denn n
> > [mm]\in\IN.[/mm] Also stimmt die ganze Gleichung und [mm]a_n[/mm] ist eine
> > monoton fallende Nullfolge und deswegen konvergiert die
> > Reihe nach Leibniz. [ok]
>  > Kann ich so zeigen, dass eine Folge monoton fallend ist?

> > Oder geht das noch irgendwie anders?
>  
> Nun, anstatt [mm]a_{n+1}
> zeigen [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}<1[/mm] (für alle [mm]n\in\IN[/mm])
>  

Oh super danke. Das werde ich direkt mal machen.

Dankeschön für deine schnelle sehr hilfreiche Antwort :-)

Liebe Grüße
Roccoco

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