Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Sa 16.02.2013 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Bestimme, ob die nachfolgende Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder divergiert:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{2k^2}{(k+1)3^k}[/mm] |
Hallo,
ich vermute ein guter Kandidat hier ist das Quotientenkriterium:
Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge in [mm]\mathbb{C}[/mm].
Wenn es [mm]M\in]0,1[[/mm] gibt, sodass für alle genügend großen [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt: [mm]|a_{n+1}|\leq M|a_n|\gdw|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leq M[/mm] (*), so konvergiert [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] absolut.
Sei [mm]a_n=\frac{2k^2}{(k+1)3^k}[/mm][mm] \\
[/mm]
[mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{2(k+1)^2}{(k+2)3^{k+1}}/\frac{2k^2}{(k+1)3^k}|=|\frac{(k+1)^3}{k^2(k+2)}|<|\frac{(k+1)^2}{k^2}|\to 1[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm].
Mein Gedanke war jetzt: [mm]\frac{(k+1)^3}{k^2(k+2)}[/mm] konvergiert von oben gegen die 1 für [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] (Siehe Bild im Anhang). Aber das heißt doch, dass für [mm]k\to\infty[/mm] gilt: [mm]\frac{(k+1)^3}{k^2(k+2)}\ge1[/mm]. Demnach gibt es kein [mm]M\in]0,1[[/mm], sodass (*) erfüllt.
Wolfram Alpha dagegen sagt, dass die Reihe konvergiert.
(Das Bild unten stellt natürlich nicht die Reihe sondern die Funktion [mm]\frac{(k+1)^3}{k^2(k+2)}[/mm] dar.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke für die Hilfe!
nBt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo nbt,
> Bestimme, ob die nachfolgende Reihe konvergiert, absolut
> konvergiert oder divergiert:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{2k^2}{(k+1)3^k}[/mm]
> Hallo,
> ich vermute ein guter Kandidat hier ist das
> Quotientenkriterium:
Oder Wurzelkrit.
> Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge in [mm]\mathbb{C}[/mm].
> Wenn es [mm]M\in]0,1[[/mm] gibt, sodass für alle genügend großen
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt: [mm]|a_{n+1}|\leq M|a_n|\gdw|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leq M[/mm]
> (*), so konvergiert [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] absolut.
>
> Sei [mm]a_n=\frac{2k^2}{(k+1)3^k}[/mm][mm] \\
[/mm]
>
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{2(k+1)^2}{(k+2)3^{k+1}}/\frac{2k^2}{(k+1)3^k}|=|\frac{(k+1)^3}{k^2(k+2)}|<|\frac{(k+1)^2}{k^2}|\to 1[/mm]
Nee, was hast du denn da nach dem zweiten "=" gerechnet?
Das sieht mir so aus, als hättest du die [mm] $3^k$ [/mm] gegen die [mm] $1/3^{k+1}$ [/mm] zu einer 1 gekürzt ...
Da muss aber [mm] $\frac{1}{3}\cdot{}\frac{(k+1)^3}{k^2(k+2)}$ [/mm] hin ...
> für [mm]k\to\infty[/mm].
>
> Mein Gedanke war jetzt: [mm]\frac{(k+1)^3}{k^2(k+2)}[/mm]
> konvergiert von oben gegen die 1 für [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] (Siehe
> Bild im Anhang). Aber das heißt doch, dass für [mm]k\to\infty[/mm]
> gilt: [mm]\frac{(k+1)^3}{k^2(k+2)}\ge1[/mm]. Demnach gibt es kein
> [mm]M\in]0,1[[/mm], sodass (*) erfüllt.
>
> Wolfram Alpha dagegen sagt, dass die Reihe konvergiert.
Ja, sogar absolut, weil du 1/3 verschlabbert hast ...
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Danke für die Hilfe!
> nBt
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Sa 16.02.2013 | | Autor: | nbt |
Ohje, ich hatte auf meinem Zettel sogar die [mm]\frac{1}{3}[/mm] stehen, und im nächsten Schritt dann vergessen.
Ok, dann hat sichs glaub ich erledigt:
[mm]|\frac{a_{k+1}}{a_k}|=|\frac{(k+1)^3}{3k^2(k+2)}|<|\frac{(k+1)^2}{3k^2}|\to\frac{1}{3}[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm].
Wähle [mm]M=\frac{1}{2}[/mm], dann gibt es ein [mm]K\in\mathbb{N}[/mm], sodass [mm]\forall k>K:|a_{k+1}|\leq M|a_k|[/mm]. Damit konvergiert [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] absolut
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ohje, ich hatte auf meinem Zettel sogar die [mm]\frac{1}{3}[/mm]
> stehen, und im nächsten Schritt dann vergessen.
Jo, das passiert allzu schnell 
> Ok, dann hat sichs glaub ich erledigt:
>
> [mm]|\frac{a_{k+1}}{a_k}|=|\frac{(k+1)^3}{3k^2(k+2)}|<|\frac{(k+1)^2}{3k^2}|\to\frac{1}{3}[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, und [mm]\frac{1}{3}<1[/mm], damit hast du absolute Konvergenz
> Wähle [mm]M=\frac{1}{2}[/mm], dann gibt es ein [mm]K\in\mathbb{N}[/mm],
> sodass [mm]\forall k>K:|a_{k+1}|\leq M|a_k|[/mm]. Damit konvergiert
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] absolut
Wozu dies eigentlich noch? Es ist doch [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{3} \ < \ 1[/mm].
Dazu sagt das QK: Die Reihe konvergiert absolut!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
